人教版初中数学第十七章勾股定理知识点总结

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1、第十七章勾股定理17.1勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为C,那么a2+b2=c2勾股定理的证明:方法一：4S/S励形EFGH二S

2、E方形abcd，4X亍方+(b—,化简可证.方法二:四个直角三角形的而积与小止方形而积的和等于大止方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4x**=2。*大正方形面积为S=(a+b)2=a2+lab+b2/•a2+Z?2=c2方法三：S梯形=*(Q+b)・(d+b),S梯形=2Smde4-SMBE=2~ab+^c2,化简得证17.2勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=

3、c2,那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题•如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，a,b,c为正整数时，称ci，b,c为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等要点梳理要点一・勾股定理1.直角三角形两直角边久b的平方和等于斜边c的平方.（即：卫我―，）2.应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）己知直角三角形的两

4、边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为血的线段要点二、勾股定理的逆定理1.原命题金命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题•如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理：如杲三角形的三边长弘b、c,满足那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定_个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为6（2）脸证，与是否具有相等关系，若/十决二"，则AABC是以ZC为直角的直角三角形，反之，贝怀是直角三角形.满足不定方程?+於=/的三个正级，称为勾股数

5、（又称为高数或毕达哥拉斯数）,显然，以儿*2为三边长的三角形一定是直角三角形.②5、12.13；③8.15.17；24、25；⑤9、40、41.常见旳勾股数：①3、4.5；如杲（弘庆。是勾股数，当t为正整数时，以勿、bl.器为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④.组勾股数，它们具有以下特征:1•较小的直角边为连续奇数；2•较长的直角边与对应斜边相差1.3•假设三个数分别为久庆j^a

6、理的题设和结论正好相反，两者互为逆河里，都与直角三角形有关.典型例题类型一・勾股定理及逆定理的简单应用1、己知直角三角形的两边长分别为6和&求第三边的长.【变式】在ZXABC中，AB=15,AC=13,高AD=12.求ZABC的周长.2、如图所示，AABC中，ZACB=90°,AC=CB,M为AB上一点.求证:【变式】己知，ZXABC中，AB=AC,D为BC上任一点，求证：AB）-AD°=BD・CD.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、己知如图所示，在ZXABC中，AB=AC=20,BC=32,D是BC上的一点，且AD1AC求BD的长.【变式】如图所示，己知ZXABC中，ZB=22.5°

7、,AB的垂直平分线交BC于D,BD=6血，AE丄BC于E,求AE的长.A4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半,其面积分别用斗“鸟表示，则不难证明S二鼻+易.⑴如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用斗耳鸟表示，那么&存鸟之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用&*禺表示，请你确定邱“易之间的关系并加以证明.①②③5.如杲4ABC的三边分别为弘乩J且满足/+，+(?+50=必+弘+10匕，判断△ABC的形状.例.在RtAABC中，a=3,b=4,求c.例、若直角三角形的两条边长为

8、6cm、8cm,则第三边长为12^/^例、如图，已知RfABC中，ZBAC=9。。‘AD是高，AM是中线，且AM石BC=〒AD•又RMABC的周长是(6+2V3)cm.求AD-例、在AABC中，a：b：c=9：15：12,试判定AABC是不是直角三角形.勾股定理练习题：练习一：（基础）1・等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为・2•—个三角形的三边之比为5：12:13,它的周长为60,则它的面