初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

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1、因式分解的常用方法(例题详解)把一个多项式化成儿个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初屮阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式am+bm+cm=+b+c),其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既nJ以是一个单项式，也nJ以是一个多项式.二、运用公式法.运用公式法，即用a2—b2=(a+b)(a—b),a2±lab+b2=(a±b)2,a3±b3=(a±bXa2^ab+b2)写出结果.三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式：am+an+bm+hn分析：从“整体”看，这个多项式的各

2、项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有心后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一纽，后两项分为一纽•先分解，然后再考虑两组Z间的联系。解：原式二(cm+an)+(bm+bn)二a(加+〃)+/?(〃?+〃)►每组Z间还有公因式！=(/n+n)(tz+b)思考：此题述可以怎样分组？此类型分组的关纏：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间乂有公因式可以提。例2、分解因式：lax-1+5by-bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式二(2。尢一1Oay)+(5by-bx)=2a(x一5y)-

3、b{x一5y)=(x-5y)(2a-b)解法二：笫一、四项为一•组；第二、三项为一组。原式二(2。尢一bx)+(-lOay+5by)=x(2a一b)-5y(2a一b)=(2a—b)(x-5y)2、xy-x-y--1练习：分解因式1、ci~—ctb+cic—be(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式：x2-y2+ax+ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x2-y2)-^-(ax+ay)=O+y)Cx_y)+dO+〉')=(兀+y)(兀_)'+a)例4、分解因式：a2-

4、2ah^b2-c2解：原式=(cc-2ab+b，)-c?=(a-b)2-c2={a-b-c)(ci-b+c)注意这两个例题的区别！练习：分解因式3、x2-x-9y2-3y4、x2-y2-z2-2yz综合练习：(1)x3+x2y-xy2-y3(2)ax2-bx2+bx-ax+a-b(3)x2+6xy+9y2-16a24-8^-1(4)q-—6ab+12b+9b2—4a(6)4a2x-4a2y-b2x-^-b2y(8)a$-2a+b〜-2b+2ab+1(10)(a+c)(a-c)+b(b-2a)(11)/(/?+(?)+/?2(°+(?)+(?2(°+/7)+

5、2〃(？(12)a34-Z?3+c3-3ahc四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式肓接利用公式x2+(0+q)x+pq=O+0)O+q)进行分解。特点:(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：X2+5x4-6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。2由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6),从中可以发现只有2X3的分解适合，即2+3=5。1二三解：*+5x+6=兀〜+(2+3)x+2x313=(x+2)(x+3)1X2+1X3=5用此方法进行分解的关

6、键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：x2-7x4-6解：原式=/+[(_])+(_6)]兀+(—1)(—6)1J=(x-1)(%—6)1-6(-1)+(-6)=-7练习5、分解因式(1)/+14^+24(2)/_150+36(3)x2+4x-5练习6、分解因式(1)兀~+兀—2⑵)“—2y—15⑶兀—1Ox—24a=c=egb=a}c2+%)b=a}c2^-a2ci2ax+bx^-c=(a}x+cx)(a2x+c2)(-)二次项系数不为1的二次三项式条件：(1)(2)(3)分解结果：例7、分解因式：3/一

7、11无+10分析：1(-6)+(-5)=-11解：3x2-11x+1O=(x-2)(3jc-5)练习7、分解因式：(1)5x2+7x-6(2)—6y$+1ly+10(三)二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a2-Sab-128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于d的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b+(-16b)=-8b解：a2-Sab-128b$=a2+[跖+(_16b)]a+8bx(-16b)=(d+8b)(a—16b)练习8^分解因式⑴兀2—3xy+2y2(2)m2-6znn+8n2(3)a2-ab-6b2例9、2x2-lxy+6

8、y212/^・3y(-3y)+(-4y)=-7y解：原式=(x-2