立体几何建系描点专题讲义

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1、立体几何建系设点专题考点分析：引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、熟悉几个补形建系的技巧基本模型：长方体；（1）三棱锥,其中.特点：；四个面均为直角三角形。建系方法：（2）四棱锥P-ABCD,其中ABCD为矩形。建系方法：（3）正四面体A-BCD建系方法：（4）两个面互相垂直建系方法第10页共10页二、建立空间直角坐标系的三条途径途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交

2、于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例1、已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高都为2，AB＝4．（1）证明：PQ⊥平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；（3）求点P到平面QAD的距离．第10页共10页途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．例2、在直三棱柱中，AB＝BC，D、E分别为的中点．（1）证明：ED为异面直线与的公垂线；（2）设，求二面角的大小．练习题：如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角

3、三角形，分别为，，的中点，，．（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．第10页共10页途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．例3．如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，，，，为的中点。（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。练习题：在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．ABOCDA1B1C1（Ⅰ）求证：A1A⊥BC；（Ⅱ）当侧棱AA1和底面成45°角时，求二面角A

4、1—AC—B的大小余弦值；第10页共10页三、求点的坐标的两条途径途径一、作该点在xOy面上的投影，转化成求该投影的横、纵坐标和该点到它投影的距离（即竖坐标）。途径二、过该点和z轴作xOy面的垂面，把空间的距离问题转化平面的距离问题。例4.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a,侧棱长为a建立适当的坐标系，⑴写出A，B，A1，B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算；（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系如图，则A（0，0，0）B（0，a,0）

5、练4：请在下列图形中建立适当的坐标系，并标明图中所有点的坐标。（1）如图，在四棱锥中，底面是的中点.APEBCDABCD（2）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．第10页共10页立几建系设点专项练习1.在正方体A—C1中，E、F分别为D1C1与AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正弦值为（　　）A．sinB．sinC．sinD．都不对2.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线BD与B1C的距离。4.四棱椎P—ABCD中，底面

6、ABCD是矩形，为正三角形，平面PCD平面ABCD，，E为PD的中点，（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E—AC—D的大小.第10页共10页5.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．PBECDFA6.如图，ABCD是边长为a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD（1）求cos〈，〉的值；（2）若E为AB的中点，F为PD的中点，求

7、

8、的值；（3）求二面角P—BC—D的大小第10页共10页7.如图，四棱锥中，⊥底面，⊥．底面为梯形，，．，点在棱上，

9、且．（1）求证：平面⊥平面；（2）求证：∥平面；（3）（理）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．8.三棱锥的底面是边长为的正三角形，平面且，设、分别是、的中点。（I）求证：∥平面；（II）求二面角的余弦值．第10页共10页9.如图所示，、分别是圆、圆的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是圆的直径，,.(I)求二面角的大小；(II)求直线与所成的角的余弦值.第10页共10页10.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值PBECD