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《高中数学立体几何建系设点专题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2009-2010学年高三立几建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、建立空间直角坐标系的三条途径途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例1（湖南卷理科第18题）已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高都为2，AB＝4．（1）证明：PQ⊥平面ABCD；（2）求异面直线AQ
2、与PB所成的角；（3）求点P到平面QAD的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分别以直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图1），易得，．所求异面直线所成的角是．（3）由（2）知，点．设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则得取x＝1，得．点P到平面QAD的距离．途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．例2 （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱中，AB＝BC，D、E分别为的中点．（1）证明：ED为异面直线与的公垂线；（
3、2）设，求二面角的大小．解：（1）如图2，建立直角坐标系，其中原点O为AC的中点，设则，，10则，即．同理． 因此ED为异面直线与的公垂线．（2）不妨令，则，．即BC⊥AB，BC⊥，又∵，∴BC⊥面．又，，即EC⊥AE，EC⊥ED，又∵AE∩ED＝E，∴EC⊥面．∴，即得和的夹角为．所以，二面角为．练2：如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．例3．如图，在四棱锥中，
4、底面四边长为1的菱形，，，，为的中点。（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。10方法1：作于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为轴建立坐标系.ABOCDA1B1C1方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结BD，设交AC于E，取OC中点为F，以E为原点，EB、EC、EF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.ABOCDA1B1C1xzy练3：在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1A⊥BC；（Ⅱ）当侧棱AA1和底面成45°角时，求二面角A1—AC—B的大小余弦值；二、求点的坐标
5、的两条途径途径一、作该点在xOy面上的投影，转化成求该投影的横、纵坐标和该点到它投影的距离（即竖坐标）。途径二、过该点和z轴作xOy面的垂面，把空间的距离问题转化平面的距离问题。例4.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a,侧棱长为a建立适当的坐标系，⑴写出A，B，A1，B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算；（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系如图，则A（0，0，0）B（0，a,0）A1（0，0，a),C1（-a,)(2)解法一：在所建的坐标系中，取A
6、1B1的中点M，于是M（0，），连结AM，MC1则有，，∴，，所以，MC1⊥平面ABB1A1因此，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角，，,而
7、由cos<>=,<>=30°10解法二：，平面ABB1A1的一个法向量∴AC1与侧面ABB1A1所成的角的正弦为：=∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°练4：请在下列图形中建立适当的坐标系，并标明图中所有点的坐标。（1）如图，在四棱锥中，底面是的中点.APEBCDABCD（2）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．102009-2010学年高三立几建系设点专向练习1.在正方体A—C1中，E、F分别为D1C1与AB的中点，则A
8、1B1与截面A1ECF所成的角的正弦值为（ ）A．sinB．sinC．sinD．都不对解：（向量法）建立以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的坐标系，设棱长为1设平面A1FCE的法向量=（x，y，z）,则·=0，·=0∵=（－1，，0），=（0，－，1）∴,令y=2,∴=（1，2，1）又∵=（0，1，0）∴cos<,>=∴A1B1与平面A1FCE成的角的正弦为sin答案：A2.如图，正三棱柱AB
