第一讲 数学建模概论

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1、第一讲数学建模概论统计与应用数学系张耀峰Theintroductionofmathematicalmodeling8/18/20211第一讲数学建模概论1.1从自然语言到数学语言1.2数学建模基本步骤1.3数学建模的重要意义1.4怎样学习数学建模8/18/202121.1从自然语言到数学语言8/18/20213例1、阿凡提的聪明故事8/18/20214除两只外所有动物都是狗8/18/20215除两只外所有动物都是猫8/18/20216除两只外所有动物都是鹦鹉8/18/20217一共有多少只动物？每种动物各有多少只？8/18/20218①模型假设设所有动物总数为n只

2、，其中分别有狗x只，猫y只，鹦鹉z只。②模型建立n=2+x…….(1)n=2+y……..(2)n=2+z……..(3)n=x+y+z……..(4)③模型求解(1)+(2)+(3):3n=x+y+z+6……..(5)(5)-(4):2n=6，即：n=3，x=y=z=1数学模型8/18/20219对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括分析、假设、求解、检验等）数学模型数学建模8/18/2021101.2数学建模的基本步骤8/18/202111例2我知道那张牌！54张27

3、张数出27张剩余1张1张抽出1张补足13点补足13点补足13点剩余准确说出牌的点数与花色①模型准备8/18/202112魔术大揭密54张27张数出27张剩余Y点X点抽出Z点补足13点13-Z张补足13点13-Y张补足13点13-X张剩余27-(1+1+1)-(13-X)-(13-Y)-(13-Z)=X+Y+Z-15(张)加到共X+Y+Z点（X+Y+Z）②模型假设④模型求解③模型建立⑤模型分析⑥模型验证-（X+Y+Z-15）=15(张)8/18/202113（3）模型建立抽象为数学问题（4）模型求解逻辑推理、证明、数值计算（6）模型应用预测、决策、解释问题数学建模基

4、本步骤（1）模型准备了解背景，收集信息（2）模型假设抓住本质，简化问题，便于数学处理（5）模型分析与验证检验模型的合理性和实用性8/18/202114例3：椅子能在不平的地面上放稳吗？8/18/2021151.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形；2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面;3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。①模型假设8/18/202116ABCDtA’B’C’D’O⑷由假设3，椅子在任何位置至少有三

5、只脚同时着地：对任意t，f(t)和g(t)中至少有一个为0,即f(t)·g(t)=0。当t=0时,不妨设g(0)=0,f(0)>0,原题归结为证明如下的数学命题：⑴t—椅子绕中心O旋转角度,表示椅子位置.⑵f(t)—A,C两脚与地面距离之和,g(t)—B,D两脚与地面距离之和.②模型建立⑶由假设2，f和g都是连续函数其中f(t),g(t)0已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t,f(t)•g(t)=0且g(0)=0,f(0)>0,则存在t0，使f(t0)=g(t0)=08/18/202117证明：将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(

6、0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知h为连续函数,据闭区间上连续函数的介值定理,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.③模型求解8/18/202118数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的

7、信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践8/18/2021191.3数学建模的重要意义伽利略曾经说过：“这本庞大的书（我指的是宇宙）中写了（自然）哲学，它一直敞开在我们的眼前，但不首先学会理解它的语言，并识别它书写所用的字符，是不能读懂它的，而它是用数学的语言写成的”.8/18/2021201、在一般工程技术领域数学建模大有用武之地；2、在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；3、数学进入一些新领域，为数学建模开辟了处女地已有重要模型融入新技术新工艺的新模型计算机模拟CAD技术高新技术经常采用数学建模和计算机模拟各类数值计算软件在高新技术研发中的应用“高

8、新技术本质