1数学建模概论

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1、数学建模概论数学模型（MathematicalModel）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学建模（MathematicalModeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。§1.1数学模型与数学建模例（万有引力定律的发现）十五世纪中期，哥白尼提出了震惊世界的日心说。丹麦著名的实验天文学家第谷花了二十多年时间观察纪录下了当时已发现的五大行星的运动情况。第谷的学生和助手开普勒对这些资

2、料进行了九年时间的分析计算后得出著名的Kepler三定律。牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律。1.行星轨道是一个椭圆，太太阳位于此椭圆的一个焦点上。2.行星在单位时间内扫过的面积不变。3.行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变（绝对常数）开普勒三大定律如图，有椭圆方程:矢径所扫过的面积A的微分为:由开普勒第二定律:常数立即得出:即:椭圆面积由此得出常数简单推导如下：行星r太阳我们还需算出行星的加速度，为此需要建立两种不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方

3、向的单位向量记为i,沿短轴方向的单位向量记为j，于是：进而有加速度以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是因此得出由于也就是说行星的加速度为由开普勒第三定律知为常数。若记那么就导出著名的万有引力定律：再将椭圆方程两边微分两次，得将前面得到的结果和焦参数代入，即得1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数

4、学结构——即建立数学模型。4.模型求解。5.模型的分析与检验。在难以得出解析解时，也应当借助计算机求出数值解。§1.2数学建模的一般步骤实体信息(数据)假设建模求解验证应用§1.3数学模型的分类分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等建模中所用的数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等研究课题的实际范畴人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型、基因模型等①数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼，在调查研究阶段，需要用到观察能力、

5、分析能力和数据处理能力等。在提出假设时，又需要用到想象力和归纳简化能力。②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领。③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。§1.4数学建模与能力的培养开设数学建模课的主要目的为了提高学生的综合素质，增强应用数学知识解决实际问题的本领。例1某人平时下班总是

6、按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？§1.5一些简单实例似乎条件不够哦。。换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。请思考一下，本题解答中

7、隐含了哪些假设？例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。分析本题多少有点象数学中解的存在性条件及证明，当然，这里的情况要简单得多。假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。（请自己据此给出严格证明）例3交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作

8、用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行