浅谈不等式的证明

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1、浅谈不等式的证明不等式问题是高屮数学的重要内容Z—，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同吋，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目占有一定的比例，命题主耍涉及解不等式、不等式的证明、不等式的应用这三方面，现将不等式的证明进行研究。证明不等式有利于提高学生的分析与综合能力，证明不等式没有固定的程序，一个不等式的证法往往不止一种，证明过程往往是几种方法的综合运用，但无论是哪种方法，都离不开不等式的基本性质，另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式，如果能熟记并能运用的话，在证明不等式的过程中会有很大的帮

2、助。下面将详细列举证明不等式的方法。一、比较法比较法是证明不等式的一种最基本也是最重要的方法，主要有作差比较和作商比较两种形式。（1）作弟比较法的步骤一般为：①作弟式②差式变形③判断差式的正负④下结论；在这些步骤屮，最难的就是差式变形，常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。（2）作商比较法的步骤为：①作商式②商式变形③判断商式的值是大于1、小于1还是等于1④下结论。（3）当不等式两边为多项式、分式或对数形式时，往往选择作差法；当不等式两边为指数时,常采用作商法。下面将列举例子进行分析，以进一步加深对比较法的认识。例1若0<◎<0<彳，则sina+cosavsin0+cos0证

3、明sina+cosa-sin0+cos0=(sina一sin0)+(cosa一cos0)2cossin2a-/32-2sin也cosa_卩2小.a-/3/a+B.a+Bx二2sin(cos-sin)因为03<0<彳,所以一十字<0,0<字<彳所以得2宓¥仏字-血¥)<0即sina+cosa—>sin22a+J32二、放缩法放缩法是证明不等式所特有的方法，把要证的不等式中的一部分量进行放大或缩小，形成新的不等式，而这个新的不等式必须是比原不等式更容易证明的，同吋，由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外，放缩目标必须

4、明确，从实际出发，从原不等式过渡到新的不等式是证明的关键。下面就实际例子进行分析。例2若>0.^xy+yz+zx>3,求证：>3X1+y7y7+f?o+乍2x^y+xy_+yz分析：对一个式子放缩的方法是多种多样的，但根本方法是运用不等式的基本性质，也可运用排序不等式的公式，xayp^xpyax5y2+x2y5Rx2y+xy2z2x2(3)yz+yz兀+兀z⑴、(2)、(3)三个不等式式子左边和右边分

5、别相加，得x1+y129xy+xy^=3”2y+2此2+/八;5+%+R2n；・32所以x1+b27xy+xy~y1+z722yz+yzz1+x722zx+xz>3三、数形结合法中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形,但数与形是有联系的，这个联系称Z为数形结合，或形数结合，作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：1、借助于数的精确性来阐明形的某些属性，2、借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。解决不等式的证明问题，可以运用数形结合的思想方法，构造一些几何图形，这种解法别有新意。a2-hb2tz+Z?2例3：求证2_(—2—)E证明：(1)6/

6、>0,Z?>0如图，作以以为上、下底，d+b为高的直角梯形BCDE,其中，BC=AD=a,CA=DE=b贝MB=AE=c=y/a2+h2,BE—^J~2c—V2Va2+b2而BE>CD,42yla2+b2>a+b^以2(/+h2)>(a+h)2所以原不等式成立(2)若d"不全大于或等于零，则同法可证2(/+b2)>(a+b1尸,而(Ia+b)2>(a+b)2所以2(a2+h2)>(a+b)2四、综合法从不等式的一边出发，借助有关性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论，证明不等式成立，其特点和思路是“由因导果”，利用综合法证明不等式时，要利用已经证明过的不

7、等式作基础，运用不等式的性质，逐步推出所要证明的不等式。例4：设a,b,c为不全相等的正数，求证：abbeca,—+——+—>a+b+ccab分析:证明这个不等式时，要从不等式的左端出发，利用基本不等式兀+沖2历的公式推导出、I竺•竺=b,这样一步步推导,Vca很快就推导出所要证的不等式证明：由基本不等式得abbeca11cab1r/abbe、,bcca、,ca=t[(—+—)+(—+—)+(—2cciabb=a+b+ccab五、分析法由已知条件推导岀结论时，采用综合法为宜，但当