浅谈积分不等式的证明

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1、浅谈积分不等式的证明摘要积分不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强。每种方法有一定的特色，并且有一定的规律可循。本文综述了积分不等式的若干方法。通过对例题的分析，总结了求积分不等式的常用方法。这篇文章主要有两部分组成，英一，利用定积分的性质，微分中值定理，积分中值定理，概率论知识，施瓦兹不等式，二重积分等内容，研究了积分不等式的证法。其二，研究了Gronwall积分不等式不同的证明方法并加以应用。更重要的是，对某些积分不等式进行推广。［关键词］:定积分，概率论，积分不等式，泰勒公式AbstractThepr

2、oofofintegralinequalityisflexible,skillfulandcomplex.Everymethodhasitsfeature・However,italsohaslawtoobey・Thearticleexplainssomemethods・Byanalysiscourseofsomeexamples,Isumupsomemethodsofprovingintegralinequality.Thearticlemainlyhastwoaspects・Firstly,thearticle

3、explorestenmethodsofprovingIntegralinequalitywiththenatureofdefiniteintegral,Meanvaluetheoremofdifferential,meanvaluetheoremofintegral,Schwarzinequality,Taylorformula,probabilityknowledgeanddoubleintegralandsoon.Secondly,thearticlehasstudiedtheproofofGronwall

4、integralinequalityanditsapplication.Whatismore,someintegralinequalitieshavebeengeneralizedbythearticle・[Keywords]:DefiniteIntegral,Probability,IntegralInequality,Taylorformula.目录引言1第一章积分不等式的证明方法21.1利用定积分性质证明积分不等式21.2利用中值定理证明积分不等式31.3利用施瓦兹不等式证明积分不等式41.4利用二重积分证

5、明积分不等式51.5利用反证法证明积分不等式61.6利用线性变换证明积分不等式71.7利用泰勒公式证明积分不等式71.8作辅助函数利用函数单调性证明积分不等式81.9利用概率论方法证明积分不等式81.10利用Garland不等式证明积分不等式10第二章一些特殊积分不等式的证明，推广，及应用122.lGronwall积分不等式的证明及其应用122.2对某个积分不等式的推广152.3数值积分不等式162.4Steffensen不等式17结束语19参考文献20谢辞21积分不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强。每

6、种方法有一定的特色，并且有一定的规律可循。本文综述了积分不等式的若干方法。通过对例题的分析，总结了求积分不等式的常用方法。根据不同积分不等式特征，采取不同的方法•此法不论对初等数学和高等数学都有一定的价值，它使数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。第一章：积分不等式的证明1.1利用定积分的性质证明积分不等式例1：已知/(x)在［0,1］上连续，对任意的X,y都有

7、/(x)-/(^)

8、

9、-1k=Mx-—dx=—心1n2n总结：此题主要利用定积分的绝对值不等式性质进行分析处理££例2:试证£2cos(sint)dt>£2sin(cost)dt分析：此题主要可用定积分的性质处理因为定积分的保不等号性；若函数/(x)和g(x)在区间［⑦切上可积，且对Vxe［a.b］,有/(%)sin(cosz)当疋时，，0O

10、n3sin(cosf)所以sinr+cos迸,即仝sinecos"且0

11、-sinr0sin(cosZ),/即cos(sin/)>sin(cosr),因而fw0,—时，结论成立。1・2利用中值定理来证明积分不等式例1：设/(x)在［a,b］上连续,(a,b)内可导,

12、/(x)

13、