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1、小船过河问题分析与题解【问题概说】（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。（2）三种速度:船相对水的速度为以（即船在静水屮的速度），水的流速为卩水（即水对地的速度），船的合速度为卩（即船对地的速度，船的实际速度，其方向就是船的航向）。（3）三种情景：①过河时间最短:当船头垂肓河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。②过河路径最短：在v^>v^的条件卞，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程或路径）最小并等于河宽。在水的条件下，当船头与船的合速度垂宜时，渡河位移（航程或路径）最小。此种情况下，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直镀河。最短航程确定如下:如图所示,以v水
2、矢量末端为圆心，以v船欠量的大小为半径画弧，从V水欠量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。（下图中刃表船速，巾表水速）①最小渡河速度：水速和航向一定，船速垂直航向冇最小船速。【典型题例】两河岸平行，河宽d=100m,水流速度v,=3m/s,求：（1）船在静水中的速度是4m/s时,欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船的位移是多大？（2）船在静水中的速度是6m/s时，欲使船航行距离最短，船应怎样漩河？渡河时间多长？（3）船在静水中的速度为1.5m/s时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河？船的最小航程是多少？［思路分析］（1）当船头垂直于河岸时，渡河时间最短:tm
3、in=d/V2=l00/4=25s合速度v=J=V32+42=5m/s船的位移大小s=vtmin=125m（2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河岸，设船的Q1开行速度V2与岸成。角，则COS0=^=rr所以8=60°,合速度v=v2sin6Oo=3^3m/sdIOOa/3t=—=sv9(3)船在静水中速度小于水流的速度，船头垂直于合速度v时，渡河位移最小,设船头与河岸夹角为卩，如图所示：cosp=—==—所以p=60()最小位移圖爲=品=200〃叫32［答案］(1)船头垂直于河岸时，渡河时间最fe：：tmin=25s,s=125m；⑵船头向上游转过一定角度
4、，与岸成60°角航程最用，“罟3"⑶船头垂直于合速度，船头与河岸夹角60°时航程最短，smin=200wo船渡河屮极值问题，是运动合成与分解屮典型问题，也是难点所在，准确理解并熟练掌握上述儿条规律是解决此类问题的突破口。请试着完成以下几例类似题。【练习反馈】1、某河水流速度为5m/s,—小船对静水的速度人小是4m/s,要渡过此河，船头垂直河岸行驶，已知河宽为120m,试分析计算：①小船能否渡河直达正对岸？②船需多少时间才能到达对岸？③此船背上对岸的地点离出发点的距离是多少？④若船行至正屮间时，河水流速増人到8m/s,则船渡河需耍多少时间？登岸地点如何变化？⑤此船过河的最短位移是多人？2、
5、北风速度4m/s,大河中的水流正以3m/s的速度向东流动，船上的乘客看见轮船烟囱冒出的烟柱是竖肓的，求轮船相对于水的航行速度多人？什么方向？3、有一船正在渡河，如图所示，在离对岸30m时，具下游40m处有一危险水域，若水流速度5m/s,为了使船在危险水域之前靠岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应是多大?4、玻璃生产线上，宽9m的成型玻璃板以2m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为10m/s,为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制?切割一次的时间多长？【参考答案】1、①不能；②30s；③192m；④30s,在正对岸下游195m处，
6、登岸地点顺流下移；⑤150m。解析：④由运动的独立性可知，水流速度增大対于过河时间没有影响，只是沿河方向位移增大。⑤如图，以卩水的矢尖为圆心、卩黑为半径画圆，当v与圆相切时，Q角最人。根据cos0=v船头与河岸的夹角应为&=arccosv船/v水，船漂下最短距离：Xmin=(V/R—V船COS&)/=L/COS0。此时渡河的最短位移：L厶核s=COS0="船=120x5/4=150m2、木题研究对彖冇北风、水流、乘客、烟；“烟柱是竖直的“说明人感觉不到风，那么轮船应该与风同速航行。轮船的实际航向正南,人小为4m/s,由于河水流动，伦船M该有一个分速度：人小与卩水相等，方向与v水相反，这样
7、伦船才会朝正南方向行驶，如图所示:tan0=—=-则0=37°,叫4即船头应该与上游河岸成53°角航行。且vJ必+呎=a/42+32=5m!s答案：5m/s,船头方向与上游河岸成53°角航行。3、设船到达危险水域前，恰好到达对岸，则其合速度方向如图所示，设合速度方向与河岸303的夹角为a，则心允船的合速度方向与合位移方向相同，根据平行四边形定则知：当船对于静水的速度"垂直于合速度方向时，Vi最小,vi的最小值为vimin=v2sin
