小船过河问题分析与题解资料

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1、小船过河问题分析与题解【问题概说】（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。（2）三种速度:船相对水的速度为v船（即船在静水中的速度），水的流速为v水（即水对地的速度），船的合速度为v（即船对地的速度，船的实际速度，其方向就是船的航向）。（3）三种情景：①过河时间最短:当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。②过河路径最短：在v船>v水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移（航程或路径）最小并等于河宽。在v船

2、，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。最短航程确定如下:如图所示，以v水矢量末端为圆心，以v船矢量的大小为半径画弧，从v水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。（下图中v1表船速，v2表水速）③最小渡河速度：水速和航向一定，船速垂直航向有最小船速。【典型题例】两河岸平行，河宽d=100m，水流速度v1=3m/s，求：（1）船在静水中的速度是4m/s时，欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船的位移是多大？（2）船在静水中的速度是6m/s时，欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？v1dv

3、v2（3）船在静水中的速度为1.5m/s时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河？船的最小航程是多少？[思路分析]（1）当船头垂直于河岸时，渡河时间最短：tmin=d/v2=100/4=25s合速度v=船的位移大小s=vtmin=125mv1θvv2（2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河岸，设船的开行速度v2与岸成θ角，则cosθ=，所以θ=600，合速度v=v2sin600=3t=6（3）船在静水中速度小于水流的速度，船头垂直于合速度v时，渡河位移最小，βv2vv1设船头与河岸夹角为β，如图所示

4、：cosβ=所以β=600最小位移smin=[答案](1)船头垂直于河岸时，渡河时间最短：tmin=25s，s=125m；(2)船头向上游转过一定角度,与岸成600角航程最短，t=；(3)船头垂直于合速度,船头与河岸夹角600时航程最短，smin=。船渡河中极值问题，是运动合成与分解中典型问题，也是难点所在，准确理解并熟练掌握上述几条规律是解决此类问题的突破口。请试着完成以下几例类似题。【练习反馈】1、某河水流速度为5m/s，一小船对静水的速度大小是4m/s，要渡过此河，船头垂直河岸行驶，已知河宽为120m，试分析计算：①小

5、船能否渡河直达正对岸？②船需多少时间才能到达对岸？③此船登上对岸的地点离出发点的距离是多少？④若船行至正中间时，河水流速增大到8m/s，则船渡河需要多少时间？登岸地点如何变化？⑤此船过河的最短位移是多大？62、北风速度4m/s，大河中的水流正以3m/s的速度向东流动，船上的乘客看见轮船烟囱冒出的烟柱是竖直的，求轮船相对于水的航行速度多大？什么方向？30m危险区40m3、有一船正在渡河，如图所示，在离对岸30m时，其下游40m处有一危险水域，若水流速度5m/s，为了使船在危险水域之前靠岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度

6、应是多大？4、玻璃生产线上，宽9m的成型玻璃板以2m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为10m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制?切割一次的时间多长?6【参考答案】1、①不能；②30s；③192m；④30s，在正对岸下游195m处，登岸地点顺流下移；⑤150m。解析：④由运动的独立性可知，水流速度增大对于过河时间没有影响，只是沿河方向位移增大。⑤如图，以v水的矢尖为圆心、v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大。根据cosθ＝v船/v水，船头与河岸的夹角应为θ＝a

7、rccosv船/v水，船漂下最短距离：xmin＝(v水－v船cosθ)t=L/cosθ。此时渡河的最短位移：s＝＝=120×5/4=150m2、本题研究对象有北风、水流、乘客、烟；“烟柱是竖直的“说明人感觉不到风，那么轮船应该与风同速航行。轮船的实际航向正南，大小为4m/s，由于河水流动，轮船应该有一个分速度：大小与v水相等，方向与v水相反，这样轮船才会朝正南方向行驶，如图所示:v船θv水v风tanθ=则θ=370，即船头应该与上游河岸成530角航行。且v船=答案：5m/s，船头方向与上游河岸成530角航行。αβv1vv23

8、、设船到达危险水域前，恰好到达对岸，则其合速度方向如图所示，设合速度方向与河岸的夹角为α，则tanα=，α=370。船的合速度方向与合位移方向相同，根据平行四边形定则知：当船对于静水的速度v1垂直于合速度方向时，v1最小，v1的最小值为v1min=v2sinα=3m/s，这时v1方向与河岸