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《3.2的抽样分布定理证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、几种统计量的抽样分布(1)样本平均数的抽样分布(P.116)①设(x1,x2,…,xn)是总体x~N(m,s2)的随机样本，=，则E()====mVar()=Var()===图8.1正态分布s2=1，s2=0.5因xi~N(m,s2)，i=1,2,…,n,=++…+，根据正态分布的线性性质，得~N(m,),U=~N(0,1)n®∞，®m，样本容量越大，离m越近。②当x不服从正态分布时，在n>30条件下，依据中心极限定理可认为，近似服从正态分布N(m,。Z=~N(0,1)上面给出的E()=m，Var()=是以x为无限总体为条件的。（1）当x为有限总体，但<0.05时，仍把x当作无限总体看待。（2
2、）当>0.05时，E()=mVar()=其中称作有限总体修正因子。6n=100n=10n=3图1发票面额的分组频数表(m=20，s=30)图2n=3,n=10,n=100的抽样分布（=30.3）（文件名：stat06）例1：8042张发票面额的分组频数表显示该总体是非正态、右偏倚的，如图1，m=20，s=30。以样本容量为n=3，n=10，n=100各抽取600次，得到关于的三个频数分布图如上。(2)统计量W=的抽样分布①若U1，U2，…Un是相互独立且同服从N(0,1)分布随机变量，则U12+U22+…+Un2=~c2（n）当n=1时，U12服从1个自由度的c2分布。c2分布统计量具有可加性
3、。②设(x1，x2，…xn)是取自正态总体x~(m,s2)的样本。则~c2（n）证：因xi~N(m,s2)，所以~N(0,1)，则=~c2（n）□③设(x1，x2，…xn)是取自正态总体x~(m,s2)的样本。则W==~c2（n-1）证：因为=+=2++2=2+n2所以6=+=+移项整理=-因为~c2（n），~c2（1），且与相互独立，所以由c2分布的可加性，=~c2（n-1）□(3)统计量t=的抽样分布①若x~N(0,1)，y~c2(n)且相互独立，则称~t（n）②设(x1，x2，…xn)是取自正态总体x~(m,s2)的样本。试证~t（n）证：因为~N(0,1)，~c2(n)，所以=~t（n
4、）□③设(x1，x2，…xn)是取自正态总体x~(m,s2)的样本。则t=~t（n-1）证：因x~(m,s2)，所以~N(m),~N(0,1)。又因~c2（n-1），且与相互独立，所以6=~t（n-1）□④设(x1，x2，…xn)和（y1，y2，…yn）是分别取自总体x~N(m1,s2)，y~N(m2,s2)的样本且相互独立，则~t（n1+n2–2）其中S1，S2分别是这两个样本的样本方差。证：把(-)看作一个随机变量，则E(-)=E()-E()=m1-m2Var(-)=Var()+Var()=+所以-~N(m1-m2，+)，U=~N(0,1)由给定条件知~c2（n1-1），~c2（n2-1）
5、且相互独立，由c2分布的可加性，有V=+~c2（n1+n2–2）按t分布定义，==~t（n1+n2–2）□6(4)统计量F的抽样分布①若x~c2（n1），y~c2（n2）,且x与y相互独立，则F=~②设(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn)分别是取自N(m1,s12),N(m2,s22)总体的独立样本。~F(n1,n2)证：由上知~c2（n1）,~c2（n2），所以=~□③设(x1，x2，…xn)和(y1，y2，…yn)分别取自两个相互独立的正态总体N(m1,s12)，N(m2,s22)的样本，则F=~其中S21，S22分别是两个样本的样本方差。证：~c2（n1-1），~c2（n2
6、-1）则==F~□证明：(f1,f2)=证：P{(f1,f2)££Fa/2(f1,f2)}=1-aP{£(f1,f2)}=,P{³}=因~F(f2,f1),=Fa/2(f2,f1)6所以F1-a/2(f1,f2)=□(5)样本比率的抽样分布设容量为N的总体中，具有某种性质的元素数为X个，则关于具有这种性质的元素数的总体比率是p=若从该总体中抽取容量为n的样本，具有该种性质的元素数为x，则关于该种元素的样本比率是=若采用重复抽样方式，设x=x1+x2+…+xn为n个Bernouli变量之和，则x~B(n,p)，x=0,1,2,…,n，（服从二项分布）。x的概率分布是p(x)=Cnxpx(1-p)
7、n–x,x=0,1,2,…,n因为和x只差一个常数，所以也服从二项分布。=~B(n,p),(=0,,,…,1)p()=,=0,,,…,1已知：E(x)=npVar(x)=np(1-p)所以，E()=E()=E(x)=np=pVar()=Var(x)==对于大样本（np³5,n(1-p)³5）,依据中心极限定理近似有如下关系成立。~N(p,)=~N(0,1)6
