立体几何大题二,翻折

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1、立体几何大题题型二：翻折问题1.已知四边形满足，，是的中点，将△沿着翻折成△，使面面，分别为的中点．CABDEAB1CDEGF（1）求三棱锥的体积；（2）证明：平面；（3）证明：平面平面．思路分析：对于翻折问题要注意翻折后的图形与翻折前的图形中的变与不变量．（1）求棱锥的体积一般找棱锥高易求的进行转换．由题意知，且，∴四边形为平行四边形，∴，即为等边三角形．由面面的性质定理，连结，则，可知平面．所以即可；（2）本题利用线面平行的判定定理去做．因为为的中点，注意利用中位线；（3）本题利用面面垂直的判定定理证明．因为∥,只需证

2、明平面即可。连结，则．又△为等边三角形，则，得证．本题注意体现了转化的思想．ABCDEGF（2）连接交于，连接，∵为菱形，且为的中点，∴．又面，平面，∴平面（3）连结，则．又，，∴平面．又，∴平面．又平面，∴平面平面．点评：本题考查了直线与平面平行、平面与平面垂直的判定和几何体的体积，以折叠问题为载体，折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体。如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，还要正确识别出△沿折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（

3、边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值之所在．2．(2015·山东聊城二模)如图(1)所示，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(如图(2))(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．【解】　(1)平行．在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，又AB⊄平面DEF，EF⊂

4、平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，，1)，F(1，，0)，＝(1，，0)，＝(0，，1)，＝(0，0，2)．平面CDF的法向量为＝(0，0，2)，设平面EDF的法向量为n＝(x，y，z)，则即取n＝(3，－，3)，cos〈，n〉＝＝，所以二面角EDFC的余弦值为.(3)存在．设P(s，t，0)，有＝(s，t，－2)，则·＝t－2＝0，∴t＝，又＝(s－2，t，0)，＝(－s

5、，2－t，0)，∵∥，∴(s－2)(2－t)＝－st，∴s＋t＝2.把t＝代入上式得s＝，∴＝·，∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE.此时，＝.3．(2015·陕西高考)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值．【解】　(1)证明：在图1中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是

6、AD的中点．∠BAD＝，所以BE⊥AC.即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC.从而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高．由图1知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.从而四棱锥A1BCDE的体积为V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，由a3＝36，得a＝6.4．(2015·宁夏银川一中二模)如图1，在直角梯形ABCD

7、中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝AB＝2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D—ABC，如图2所示．(1)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；(2)求点C到平面ABD的距离．【解】　(1)取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF为△ACD的中位线，∴AD∥EF，∵EF⊂平面EFB，AD⊄平面EFB，∴AD∥平面EFB.(2)设点C到平面ABD的距离为h，在Rt△ADC中，AD＝CD＝2，∴AC＝＝2，易求得BC＝2，∵AB＝

8、4，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，且BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ADC，∴BC是三棱锥B—ADC的高，BC⊥AD，又AD⊥DC，DC∩BC＝C，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD.∴S△ABD＝AD·BD＝×2×2＝2，由VC－ABD＝V