立体几何大题二,翻折

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1、立体几何大题题型二:翻折问题1.已知四边形满足,,是的中点,将△沿着翻折成△,使面面,分别为的中点.CABDEAB1CDEGF(1)求三棱锥的体积;(2)证明:平面;(3)证明:平面平面.思路分析:对于翻折问题要注意翻折后的图形与翻折前的图形中的变与不变量.(1)求棱锥的体积一般找棱锥高易求的进行转换.由题意知,且,∴四边形为平行四边形,∴,即为等边三角形.由面面的性质定理,连结,则,可知平面.所以即可;(2)本题利用线面平行的判定定理去做.因为为的中点,注意利用中位线;(3)本题利用面面垂直的判定定理证明.因为∥,只需证

2、明平面即可。连结,则.又△为等边三角形,则,得证.本题注意体现了转化的思想.ABCDEGF(2)连接交于,连接,∵为菱形,且为的中点,∴.又面,平面,∴平面(3)连结,则.又,,∴平面.又,∴平面.又平面,∴平面平面.点评:本题考查了直线与平面平行、平面与平面垂直的判定和几何体的体积,以折叠问题为载体,折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体。如本题,不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线,线面和面面垂直的判定方法及相互转化,还要正确识别出△沿折叠而成的空间图形,更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量(

3、边长与角)的变化情况,否则无法正确解题.这正是折叠问题的价值之所在.2.(2015·山东聊城二模)如图(1)所示,正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(如图(2))(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;(2)求二面角EDFC的余弦值;(3)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.【解】 (1)平行.在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF∥AB,又AB⊄平面DEF,EF⊂

4、平面DEF,∴AB∥平面DEF.(2)以点D为坐标原点,以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,,1),F(1,,0),=(1,,0),=(0,,1),=(0,0,2).平面CDF的法向量为=(0,0,2),设平面EDF的法向量为n=(x,y,z),则即取n=(3,-,3),cos〈,n〉==,所以二面角EDFC的余弦值为.(3)存在.设P(s,t,0),有=(s,t,-2),则·=t-2=0,∴t=,又=(s-2,t,0),=(-s

5、,2-t,0),∵∥,∴(s-2)(2-t)=-st,∴s+t=2.把t=代入上式得s=,∴=·,∴在线段BC上存在点P,使AP⊥DE.此时,=.3.(2015·陕西高考)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1BCDE.(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a的值.【解】 (1)证明:在图1中,因为AB=BC=AD=a,E是

6、AD的中点.∠BAD=,所以BE⊥AC.即在图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC.从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1),A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1BCDE的高.由图1知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.从而四棱锥A1BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.4.(2015·宁夏银川一中二模)如图1,在直角梯形ABCD

7、中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=AB=2,点E为AC中点.将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D—ABC,如图2所示.(1)在CD上找一点F,使AD∥平面EFB;(2)求点C到平面ABD的距离.【解】 (1)取CD的中点F,连结EF,BF,在△ACD中,∵E,F分别为AC,DC的中点,∴EF为△ACD的中位线,∴AD∥EF,∵EF⊂平面EFB,AD⊄平面EFB,∴AD∥平面EFB.(2)设点C到平面ABD的距离为h,在Rt△ADC中,AD=CD=2,∴AC==2,易求得BC=2,∵AB=

8、4,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.∵平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,且BC⊂平面ABC,∴BC⊥平面ADC,∴BC是三棱锥B—ADC的高,BC⊥AD,又AD⊥DC,DC∩BC=C,∴AD⊥平面BCD,∴AD⊥BD.∴S△ABD=AD·BD=×2×2=2,由VC-ABD=V

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