矩阵分析小论文

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1、浅谈正交矩阵与酉矩阵矩阵是数学中重要的基本概念,是高等代数的重要研究对象之一,也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具•矩阵是线性代数中的核心内容，而正交矩阵是一种较常用的矩阵，正交矩阵在矩阵论中占有重要地位，有着广泛的应用•对其本身的研究来说是富有创造性的领域•正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中，如优化理论、计算方法、信息分析中都有着举足轻重的位置。对矩阵性质的概括、改进和推广，以及对正交矩阵在数值分析中、矩阵分解中和对方程求解、数理统计中的应用的研究，对矩阵的理论研究有重

2、要意义。本文列举了正交矩阵与酉矩阵的一些常见的性质与定理，并对其应用进行了一些列举。首先认识什么是正交矩阵，什么是酉矩阵。酉矩阵的定义：n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基,i矩阵(UnitaryMatrix)。即若n阶复矩阵A满足条件:AAh=AnA=E(E为单位矩阵,A〃表示“矩阵A的共辘转置矩阵,即人仁亍”)，则此时矩阵A称为酉矩阵。此时，容易验证，当矩阵A、B为酉矩阵时，则有如下的结论成立:(1)犷二屮也为酉矩阵(2)

3、detA=1(3)ATeUHxn,即屮为酉矩阵(4)AB,BA

4、也均为酉矩阵正交矩阵的定义：正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵。如果实数矩阵A满足AAt=AtA=E(E为单位矩阵，”表示“矩阵A的转置矩阵”)，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。此时，容易验证，当A、B为正交矩阵吋，则有如下结论成立：(1)A-1=ATeEnxn9即屮、屮均为正交矩阵(2)detA=±1(3)AB,BA也均为正交矩阵正交变换的定义：设A是欧氏空间V的一个线性变换，若A保持向量的内积不变，即对于任意的0C,卩日都有(Aoc,A卩)=(a,卩)，则称A为V的正交变换。正交变换关于标准正交基的矩阵为正

5、交矩阵。正交矩阵蕴涵了正交变换。正交基的定义：在线性代数中，一个内积空间的正交基(orthogoneilbasis)是元素两两正交的基•称基中的元素为基向量•假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1,则称这正交基为标准正交基。对于酉矩阵来说，有如下定理：设Ae,则A是酉矩阵(止交矩阵)的充要条件是A的n个列(或行)向量是标准正交向量组，以及标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。1，当心几•.a、0,当山#丿》2…，n)此外，也有以下儿个结论成立：(1)工®®=工％伽二*=1k=l(2)设A,B

6、都是正交矩阵，则AB,4”(m为自然数),ATB,ABT,A'B,AB1,A，BA等都是正交矩阵。(1)设A,B为正交矩阵,且

7、A

8、=-

9、B

10、,则A+B必不可逆;设为A,B奇数阶正交矩阵，且

11、A

12、=

13、B

14、,则A-B必不可逆。然后来看看正交矩阵与酉矩阵的一些应用:正交矩阵和西矩阵在数值分析、矩阵分解、方程组的求解等方面都有重要的应用。数值分析利用了正交矩阵的很多数值线性代数的性质。例如，经常需要计算空间的正交基，或基的正交变换；二者都采用了正交矩阵的形式•有行列式±1和所有模为1的特征值是对数值稳定性非

15、常有利的.一个蕴涵是条件数为1（这是极小的），所以在乘以正交矩阵的时候错误不放大•很多算法为此使用正交矩阵，如Householder反射和Givens旋转•有帮助的不只是止交矩阵是可逆的，还有它的逆矩阵本质上是免花费的，只需耍对换索引（下标）•置换是很多算法成功的根本•但是它们很少作为矩阵明显出现•一些重要的矩阵分解涉及到了正交矩阵，包括QR分解、奇异值分解、谱分解、极分解。而正交矩阵与酉矩阵在方程组的求解的应用在于：如果线性方程组山二b的系数阵A是列正交矩阵，则其有唯一解；正交矩阵在欧氏空间理论中的

16、应用；在n维欧氏空间中，由一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是列正交矩阵•反之，如果任一标准正交基到一个基的过渡矩阵为列正交矩阵，那么该基是一个标准正交基。正交矩阵在工程中还有很多的应用，因此，对正交矩阵与酉矩阵的研究有看深远而重要的意义。