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《高等代数小论文--分块矩阵及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、分块矩阵及其应用万毓令（重庆三峡学院数学与计算机科学学院数学与应用数学09级2班）摘要:在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了解线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都是提出矩阵的概念..关键词：分块矩阵矩阵的分块矩阵的计算证明应用引言：在已有的相关文献中，分块矩阵的一些应用如下：（1）从行列式的性质出发,推导出分块矩阵的若干性质,并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.（2）通过论述证明矩阵的分块在高等代数中的应用,
2、包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题,用分块矩阵求逆矩阵问题,用分块矩阵求矩阵的行列式问题,用分块矩阵求矩阵的秩的问题,利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵问题.（3）给出利用分块矩阵计算行列式的方法，可分几方面讨论，当矩阵或可逆时；当矩阵,时；当与或者与可交换时；当矩阵被分成两个特殊矩阵的和时行列式的计算.（4）分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁，而且方法也比较统一，有其独特的优越性.主要内容1.分块矩阵1.1.分块矩阵的定义用纵线与横线将矩阵A划分成若干较小的矩阵： 其
3、中每个小矩阵叫做的一个子块；分成子块的矩阵叫做分快矩阵[2].1．2运算规则，(k是数量)在用规则1）时，与的分块方法须完全相同；用性质3）时，的列的分法与的行的分法须相同.1.3分块矩阵的性质及其推论在行列式计算中,我们经常用到下面三条性质[3]:若行列式中某行有公因子,则可提到行列式号外面;把行列式中的某行乘上某一个非零数,加到另一行中去,其值不变;把行列式中的某两行互换位置,其值变号;利用矩阵的分块,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广.性质设方阵是由如下分块矩阵组成其中,,,,,,,,都是矩阵,又是任一级方阵.对于
4、矩阵则证明设为级单位矩阵,则于是性质 设矩阵是由如下分块矩阵组成其中,,,,,,,,都是矩阵,又是任一阶方阵.对于矩阵则证明由其中是级单位矩阵,对上式两边同时取行列式得性质 设方阵和写成如下形式,其中,,,,,,,,都是s×t矩阵，则
5、
6、证明 可由中的,,与,,相应的两行对换而得到,而对换行列式的两行,行列式反号,故当为偶数时
7、
8、当为奇时
9、
10、-可以证明,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时,这些性质不仅对行成立,对列也同样成立.下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.推论 设,都是阶方阵,则有证明 作2n阶行列式由拉普拉斯
11、展开定理得又由性质并应用于列的情况,有推论 设都是阶方阵,则有证明 根据定性质2并应用于列的情况,有例1计算阶行列式解令 则=推论 设,,,都是阶方阵,其中≠0,并且,则有证明 根据性质2,因为存在,并注意到=,用乘矩阵的第一行后加到第二行中去得从而=把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到了三个结论.设,,,都是级方阵则有结论告诉我们，两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积.结论则说明，当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵,,,时（即），2.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用定理1秩≤
12、秩,且秩≤秩,则秩≤min{秩,秩}[4]证明令=，,则()∴∴可由线性表示∴秩≤秩,即秩秩≤秩令，所以即∴可由线性表示∴秩秩,即秩秩秩即秩定理2设、都是级矩阵，若则秩秩[5].证明对分块如下:由于即即说明的各列都是的解.从而秩基础解系秩即秩秩3.1分块矩阵在求逆矩阵方面的应用命题1[10]设是一个四分块方阵，其中为阶方阵,为阶方阵,当与都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵，并且特例当，，与都可逆时，有.当，，与都可逆时，有当，，与都可逆时，有证明设可逆，且，其中为阶方阵，为阶的方阵.则应有于是得到下面的等式因为可逆，用右乘（3.2）式可
13、得代入（3.1）式得则.用右乘（3.4）式可得代入（3.3）式得则可得+.所以.命题2设是一个四分块方阵，其中为阶方阵，为阶方阵，当与（）都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵,并且=特例（1）当，，与都可逆时，有（2）当，，与都可逆时，有（3）当，，与都可逆时，有此结论参考命题1.例1设M，求.解令，，，.则很容易求得，且-由命题2可得，3.2分块矩阵在行列式计算式方面的应用 在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩
14、阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果[11].本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理设矩阵H或H其中均为方阵，则.3.2.1矩阵A或B可逆时行列式
15、H
16、的计算命题1分别为与阶方阵.证明:(1)当可逆时,有(
