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1、第六章西姆松定理及应用2017.2习题A1.由西姆松定理，知厶，M,N三点共线，注意到P,厶，N,B及P,M,C,厶分别四点共鬪,迩上LPN=ZB,ZLPM=ZC.又由张角定理，有四丝=空+巴竺.，即PLPMPNmn•sinZ.A=In•sinZB+Im•sinZ.C再应用正弦定理,得mn-a=lnb+lmc.2.根据直径所对•的圆周角是直角,^
2、IZBDP=ZADP=90°,ZBFP=ZCFP=90。,ZCEP=ZAEP=90。,即知D,A,B；B,F,C；C,E,A分别三点共线.又PD丄AB于D,PE丄AC于E,PF丄BC于F,P是ZiABC外接圆周上一点，由西姆松定理，知D
3、,E,F三点共线.3.延长BE,CD相交于点K,延长CG,BF相交于点厶.设CG与BE相交于点/,则/为△ABC的内心.由ACAI=-ABAC,IfUZCKI=90°-ZCIK=90o--(ZB+ZC)=-ZBAC,从而A,1,C,K22V72四点共圆.又AD丄CK于£),AE丄KB于E,AG丄C/于G,A是外接圆上任一点，由西姆松定理，知D,E,G三点共线.同理，B,I,4,厶四点共圆，AE丄于E,AG丄仏于G,AF丄BL于F,山西姆松定理，知E,G,F三点共线.故F,G,E,£＞四点共线.4.设外接圆弧劝上任一点P到边BC,CA,A3的距离分别为化，他，心，其垂足分别为D,E
4、,F,正三角形边长为d・由而积等式可得ha+hf)-hc=^-a.此式两边平方，得3出+斥+疋+2仇％-蔦/?h由=sinAPAC=sinZPBD=,有h•PA=hb-PB.PAPBa&同理，hjPA=hjPC,故haPA=hbPB=k-PC.乂P,F,E,A及P,D,B,F分别四点共圆，冇ZPFD=ZPBD=ZPAC,ZPDF=ZPBF=ZPCA,得厶PFD辿PAC,故PA=乜Jy，同理，PB=「a,PC=「a,即DFDEEF包_如二如么二如饥二r由西姆松定理，知D,E,F共线，即DF+FE=DE.于是EFDEEF£®hb-hahb-hah(.-hhh(=(DE-DF—EF)・
5、k=0,故尤+/分+/(=#/.5.设以AABC的三个顶点为圆心的三圆，皆经过同一点M,而M在AABC的外接圆上，口A与DB另交于D,0A与口C另交于E,口B与口C刃交于F.注意到□A与□3中，公共弦MD丄连心线AB；□A与DC中，公共弦ME丄连心线AC；□3与DC中,公共弦MF丄连心线BC.对△ABC及其外接圆周上一点M,应用西姆松定理，知D,E,F三点共线.习题B1.(1)设从点尸向BC,CA,AB作垂线，垂足分别为X,/,Z.由对称性，知XY为仏PUV的中位线，故UV//XY同理，VVV//YZ,WU//XZ.由西姆松定理，知X,Y,Z三点共线，故U,V,W三点共线.（11
6、）由戸，C,A,B四点共圆，有ZPCE=ZABP.ZPCV=2ZPCE=2ZABP=ZPBW.又ZPCQ=乙PBQ,则ZPCV+ZPCQ=ZPBW+乙PBQ.即ZQCV=ZQBW,从而屯空=WCQ.s△则BQBW同理,S、QcuAWAQCQCUS^QBUBQBU.S“QCV^^QAWS厶qbu=•■•^^QAVA0AVS^qbwS、qcuS^qav于是,BDCEAF—S’buDCEAFBSA°cS£°A（?4VS/XQAW_]S/xq阳由梅勒劳斯定理的逆定理，知D，E,F三点共线.DA_DR_DB・QR]EC_QP・BA~DC~~DP~DBPQIBA~PQBC1.山西姆松定理知P
7、,Q,R三点共线.而ZDPC=ZDQC=90°,则D,P,C,Q四点共鬪.于是，ZDCA=ZDPQ=ZDPR.MS,由D,Q,R,A共圆，有ZDAC=ZDRP・故厶DCA^/DPR.类似地，DABsdqp，'DBCsDRQ,从而DARA，故PQ=QRo——=——，而ZABC和ZADC的角平分线分AC的DCBC比分别为曇和倉.即可证•2.设P在分C,由APDB=ZPFB=APEC=ZPEA,知B,P,D,F四点共圆，P,F,A,E四点共圆，从而ZPFD=ZPBD=ZPBC=ZPAE=ZPFE,故F,D,E共线（当ZPBD=ZPEC=ZPFB=90。时，即为西姆松定理）.3.
8、由ZPCE=ZA7及有X=ZBGD（G为PA'与BB'的交点），即ZPCE=ZBGD・又ZCBB'ZCPB',从而在△BGD和△"?£：中，有ZBDP=ZCEP,即知£）,P,E,C四点共圆，有ZPDE=ZPCE=ZAff故AA'//DE.同理，AA^/DF,所以D,E,F共线（当PA'丄BC时，即为西姆松定理）.另证设与AB交于点X.注意到BB，〃CC,则知B'BC'C为等腰梯形，冇BfC=BC,即有ZB'PC'=ABAC.从而ZAXP+AXAC=ZAXP+ZXPC.于是ZE=
