隐函数问题的解题策略

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1、隐函数问题的解题策略在做函数练习题时，我们经常碰到一些只给出函数关系式没有解析式的问题，这类问题我们称为隐函数问题.隐函数问题具有一定的抽象性和综合性，对能力要求较高.许多学生对这种题不熟悉，不熟练，缺少方法和经验.本文介绍i些解隐函数问题的策略.一，利用赋值法(将关系式中的自变量取适当的值或字母的方法)解题例1,函数/(x)对任意的实数x,满足f(x+2)=丄.若/(I)=-5,则/(/(5))=—/⑴解；将/(兀+2)=丄屮的x换成兀+2得/(兀+4)=—'—=/(%),取x=l/(x)/(x+2

2、)得/(5)=/(1)=-5,乂lRx=-5得f(_5)=f(—l)=—!—=丄=一丄,・・・/(-1+2)/(I)5f(f(5))=f(-5)=-j.例2；已知.f(x)为偶函数,对任意的正数兀，有/(2+x)=-2/(2-x),且/(—1)=4那么/(-3)等于()(A)2(B)-2(C)8(D)-8解；・・・/>(对为偶函数，且/(2+x)=-2/(2-x),取"1得/⑶=-2/(1)=-2/(-1)=-8,・・・/(-3)=/(3)=-8.选D例3；函数/(兀)满足；对任意的实数兀］,兀2都有

3、/(%!+x2)+f(x}-x2)=2/(x1)/(x2)且/(x)不恒为0•判断/(%)的奇偶性解；(1)・・・对任意的实数兀］，兀2都有f(xi+x2)+f(xi-x2)=2/(^)f(x2)取兀2=0，得2/(x1)=2/(xI)/(0),V/(x)不恒为0,/./(0)=1令Xj=0,x2=x,则f(x)+f(-x)=2/(0)/(x)=2/(x),Ay(x)=/(-x)又因为函数的定义域为R,故/(%)为偶函数.二，利用f(x+a)=f(x-a)=>f(x+2a)=f(x)=>y=f(x)是

4、以2a为周期周期函数解题4例3,偶函数y=/(x)满足/(x+l)=/(x-1),且xe[-l,0]时，/(x)=3x+-，则/(log[5)的值为()3(A)-1(B)(C)(D)139解；由/(x+l)=/(x-l)得/(%+2)=/(x),以2为周期的周期函数，乂9-2

5、=3533'例4,设函数/(x)在R上满足案/(2+x)=/(2-%),/(7+%)=/(7-%)且在［0,7］上只有/(1)=/(3)=0,(1)判断函数/⑴的奇偶性，⑵试求方程/(x)=0在［-2005,2005］±根的个数，并证明你的结论.解；(1)因为f(2+x)=f(2-x)^以/(—1)=几5),而兀5)工0,所以/(-I)丰/(I)=0,不是偶函数,又在［0,7］上只有/(I)=/(3)=0所以/(0)丰0,不是奇函数，故f(x)不具有奇偶性.(2)由f(2+x)=f(2-x)得f(x)

6、=f(4-x)又由f(7+x)=f(7-x)得/(x+10)=/(4-x),所以，y(x)=/(x+10),所以/⑴是以10为周期的周期函数，在［-5,5］上只冇1、3两个根，所以在［-2005,200习上有802个根.三，利用函数的单调性解题例5,在(-1,1)上,函数f(x)的导数存在，且fx)v0,又当a,bw(-1,1)且。+b=0时/(d)+/(/?)=0,则不等式/(1-m)+/(l-m2)>0的解集为.解；Ta+/?=0吋f(a)+f(b)=0,/.f(l-m)=-1),二不等式/(l

7、-zn)+/(l-m2)>0化为/(l-m2)>/(/n-l)，又因为广(x)<0,函数递减.Qv0v”彳1vm1或加<-2例6,已知R上的函数/(x)满足/(-%)=-f(x+4)，且x>2时，/(x)为增函数,若兀］+兀2<4且(兀［一2)(兀2-2)<0,则/(和+于也)的值()(A)恒小于0(3)恒大于0(C)可能等于0(D)不能确定'解；*.*f(~x)=—f(兀+4),/.f(x)=—f(4—x)，乂由(旺-2)(兀2—2)v0知X］V2<兀2或兀2<2<%

8、!,若<2/(—x+g)=-/(兀+g)和y二/(兀+。)为偶函数=>/(一兀+。)=/(x+a)解题例6,已知函数y=/(2x+l)是7?上的奇函数，函数y=g(x)的图彖与y=/(x)的图象关于直线y=