【精品】数值分析5

《【精品】数值分析5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、笫五章数值积分和数值微分§5.1引言在许多实际问题中，常常需要计算定积分I(f)=^f(x)dx的值•根据微积分学基本定理，若被积函数/(X)在区间［a,h］上连续，只要能找到/(X)的一个原函数F(x),则山Newton-leibniz公式p(x)6/x=F(/7)-F(fz)求得积分值.但在实际问题中，往往遇到如下困难，使Newton-leibniz公式无法使用.(2)虽然找到了原函数，但因其表达式过于复杂而不便计算.(3)/(兀)是由测量或计算得到的列表函数，即/(兀)是一张数据表.山于积分存在以上

2、种种闲难，因此有必要研究积分的数值计算的问题.另外数值枳分本身就是某些微分方程和积分方程数值解法的基础.为了避免寻找原函数，我们设想积分值最好能由被积函数的值直接决定.这种想法是合理的，因为由积分中值定理知：可惜这甲的歹不易求得，因而难以求得的准确值.但如能对/忆)提供一种近似算法，于是也就得到一种数值积分公式.若取g=a，则得到若取防凹，则得到,若取防b,则得到,(f(x)dx^(b-a)f(b)以上三个公式分别称为作矩形公式，中矩形公式和右矩形公式.回顾定积分的定义,若将区间［a,b］作分割a=x0<

3、xt<•-0从这电可以得到一个近似公式:Jy[.f(x)dx=若/a)Ax,更一般地，可得到求积的近似公式为：打(兀皿〜亍&几兀.)/=()称兀为求积节点，4•为求积系数，它们均与/(力的具体形式无关.这类数值积分的方法通常称为机械求积法，主要有插值型和外推型两种.它们均是直接应川被积函数/(%)在一些节点上的函数值的线性纽合得出积分的近似值•于是求积分值的问题就转化为计算被积函数在节点处函数值的问题.§5.2梯形公式和Simps

4、on求积公式•、插值型求积公式设给定一组节点a

5、型求积公式.二、梯形公式、Simpson公式和Co伽公式当n=1时，若取兀°=a,x}=b,贝ij有:dx二*(b_d)£二flA(x)dx=f―dx=[-―dx=-(b-a)站」‘兀i一兀o'b-a2代入公式(5.1)得到ffMdx〜工4/(兀)二£@一Q)[/⑺)+、f(b)]i=02记「*(方一°)[/(a)+/(b)]称A为计算/(/)梯形公式.用7；代替/(/)产牛的误差为心满足RT=[f^dx-Tx利用端点(aj(a))及@,/@))的一阶线性插值T/、x-arz、x-b“、厶W=/(d)+/

6、(b)a-bb-a的余项/?!(x)=—^f-€Z)(x-b)(gw(a,b))可以得到2!%(/)=f+厂(§)(兀一a)(兀一b)dx=+f"(77)f(x-ax—b)dx-善厂⑺)5Z4,h=b-a)当n=2时在区间［a,b］取三个节点，x()=a,xx-°十",“=h,则有二次Lagrange插值多项式:L(兀)_(兀—兀J(兀—兀2)(X-XO)U-X2)fa+b(兀-兀0)(—坷)2(Xo-Xj)(x0-x2)*(X]—X())(X]—兀2)，2(x2-x0)(x2-%!)令S(f)叮Zd)

7、d"¥[/(a)+4.f(¥)+.f@)]于是，ff(x)dx〜5(/)•称S(/)是计算/(/)的Simpson公式.当n=4时在区间[a,b]插入5个等距节点Xi=a+ih(0

8、)-ln(/)二-£Ln(x)dx=(l.f(%)-厶”(兀)dx=f力曲(x)dx缶(九+1)!其中如+d兀)=(兀一兀o)(兀一兀J…(兀一£)，gw(a,b).从中可以看出，如Mi/(x)是一个〃次多项式，则R(f)=O,即求积公式准确成立.2.代数精度定义：如果一个求积公式人⑴右心)/=0对于次数W加的多项式均能准确成立，但至少对-•个加+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度.对于求积公式的代数耕度，