高中数学运用向量法解题

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1、题目：高中数学复习专题讲座""运用向量法解题高考要求：平面向量是新教材改革增加的内容Z—，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考牛运用向量法來分析，解决一些相关问题.重难点归纳：1.解决关于向量问题吋，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等,两向量垂直、射影、夹角等问题小•常用向虽的直介坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距

2、离公式求解空间两条宜线的夹和和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体儿何问题一般可按以下过程进行思考：⑴耍解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需耍的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别授易川哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量冇何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？典型题例示范讲解：例1如图，已知平行六面体ABCD—A}BiC}D}的底面ABCQ是菱形,H.ZClCB="CD

3、=ZBCD.⑴求证：C】C丄BD能使AC丄平面CBD?请BCD(2)^—的值为多少时,CC}给岀证明・命题意图：本题主要考查考牛应川向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体儿何图形的解读能办知识依托：解答木题的闪光点是以向虽来论证立体儿何中的垂直问题,这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析：本题难点是考牛•理不清题目中的线血位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.技巧与方法：利用厅丄bod•B=0来证明两肓线垂胃，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可・(1)证明：设CD=a,

4、石二亍，疋二C依题意，方1=1方I，CD>CB>CG中两两所成夹角为〃，十是c>—1c厂一口__一-:'BD=CD-DB=a-b,/b-/ACC]•BD=c(a~b)=c*a—c•b=c•Ialoos0—cI*bIcos〃=0,・•・C】C丄BD⑵解：若使A]C丄平tfnC}BDf只须证A

5、C丄3D,A]C丄DClf由两•CYD=(C4+A4^)(c5-cq)=(a+b+c)•(a—c^ci^+a•b—b・c—c2=a2—c2+hI•IaIcos0—lbI・I©I•cos0=0,得当a=c时,AiC丄DCi，同

6、理可证当帀1=10I时，AiC丄3D,•筒1时,A]C丄平面GBD.例2如图，直三棱柱ABC—A

7、B]C],底面AABC中,CA=CB=lfZBCA=90°,AA

8、=2,M、N分別是人向、AS的中点.(1)求丽的长；(2)求cosv两，画>的值；⑶求证丄CiM・命题意图：本题主耍考查考卞运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体儿何问题.知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系0—xyz,进而找到点的坐标和求出向最的坐标.错解分析：本题的难点是建系后，考牛•不能正确找到点的朋标.技巧与方法：可以先找到底面坐标面兀Oy内的4、B、C

9、点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的朋标.⑴解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系0—厂込依题意得：3(0,1,0),N(l,0,1).•.IBA?l=7(l-0)2+(0-l)2+(l-0)2=V3.(2)解：依题意得:Ai(b0,2),C(0,0,0),Bi(0,1,2).ABA}=(1=(0,1,2)CB}=lX0+(-l)Xl+2X2=3I两1=7(1-0)2+(0-1)2+(2-0)2=V6ICB{1=J(0—0尸+(1—0)?+(2—0)2=75・・・cosv两，画>=里'匹二型IBC]IICB]IV6-V510⑶证

10、明:依题意得：“。，0,2),M(歸2)11GM=U，〒0)，A〃=(—l,l,—2)・・・A^CA?=(-l)x-+lx丄+(—2)x0=0,・•.而丄丽7,4^2:.A}B丄CM例3三角形中,水5,—1)、3(—1,7)、67(1,2),求：上的中线仙的长；⑵乙CAB的平分线初的长；(3)cosMC的值._

11、+17+?99解：⑴点M的坐标为也尸=0;>;w==—jM(0,—)2222⑴BC边・・」AA?1=J(5-0)2+(-l-

12、)2(2)1屁1=J(5+l)2+(-l-7)2=10,l^4C1=7(5-l)2+(-l-2)2=D

13、点分BC的比为2・一1+2x117+2x211■•小==_y==—1+23D1+23IADI=J(5-

14、)2+(-l-y)2=yV2.⑶ZABC是亦与荒的夹角，而BA=(6,8),BC=(2,