高三理科数学不等式的性质、不等式证明的几种常见方法

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1、学不等式复习不等式的性质、不等式证明的儿种常见方法——比较法、综合法、分析法、换元法和放缩法等。不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论基础和前提条件。比较法是证明不等式的最基本的方法，它思维清晰，可操作性强，适用范围广泛，在不等式证明小常常采用。比较法通常分两类：笫一、作差与零比较，作差后常需耍把多项式因式分解，再由各因式的符号來确定差与零的大小；第二、作商与1比较，但要注意除式的符号，作商后常需把分子分母因式分解后约分再与1进行大小比较。综合法常常用到如下公式:(1)6Z2+fe2>2ab(a,beR)(2

2、)-三纭(a,beR冷(3)-+-^2(ab>0)2ah(4)a~+b~(£±^)2beR)⑸乞也兰鼻畅T(%cwF)223利用综合法证明不等式时常需耍进行灵活的恒等变形，创造条件去运用公式。对于不能直接分析出如何用综合法來证明的不等式，我们可以采用分析法，执果索因，从耍证明的结论出发，去追逆它要成立的条件，得到要证明的结论就是已知条件或已有的公式，从而说明所证不等式成立。另外，换元法、放缩法等对较复杂的不等式的证明也很有帮助。例1、设l>2a>0,试比较A=l+a2与B二」一的人小。-a解：A-B二1+宀11

3、+/--1-a1-a3°2—ci+a__ad(a_—a+1)—-■I•I-aa-l•:aeR+,a2—d+l>0恒成立.由条件知QabbQ分析:这里所证的不等式的左、右两边均正，H都为乘积的形式，所以可以考虑作商与1比较，转化为运用指数函数的性质来证明。证明：u严.b—=佝」ahbah1°当a^bW,-^l,a-b>0,由指数函数的性质可知（兰）一。1.hb2°当a>b时，0<-<1,a-b<0,同理可得（纟严Nl,bb综上

4、所述，（~y~bMl即abb^abba.b例3、设a>0.Fl.a7^1,m>n>0,求证：am+」一>an+—.aman分析：这类不等式显然不解直接用综合法来证明，因此仍考虑用比较法，而所证不等式左、右均为几个因式的代数和的形式，因此常采用作差与0比较的方法。证明：严+丄-丄mnaan_m1二_a"）+二（am-an）（1_—）（*）am-ana,n+n1°当时，*.*m>n>0,.*.am0a^+n2°当a>l时，Vm>n>0,Aara>an】—和石°二（*）式>0・••当a>0

5、Ma^l时.（*）式恒正，即占"+丄>/+丄.aman例4、设a.b.cwR；求证：2（。+"一y[ab）W3（^+^+t一[abc）23分析：初看上去似乎与基本不等式冇关，但若直接运用基木不等式，仅能得到所证不等式两端均非负，仍然不能证到原不等式成立。若注意到把两端括号去掉，则出现了相同项a+b,因此可以考虑用比较法來证明。证明一、3（o+b+c_^^）_2（£±^_7^）32=c+2yl~ah-3^Jahc=（c+y/~ab+4cib）-3labcTa.b.ceR：/.c+4ab+-fob23・*c•4a

6、b•y[ab=3冯cibc:.c+2jab一3l/abcMO,即所证不等式成立.证明二、・・・3（兰出兰一龜赢）一2（口2一临）32=c+14cib一3Vcibc,令y[ab=x,[c=y,Va.b.cER,.Ix,yER'c+2y[ab-3Vcibc=y3-3x2y+2x3=y3-x3+3x3-3x2y=(y2+xy+x2)(y-x)+3x2(x-y)二(y-x)(x'+xyPx，)=(y-x)(y-x)(y+2x)=(y-x)2(y+2x)NO并且仅当x二y即c2=ab时“二”成立。・・・2(旦-临)W3(

7、竺如-痂).23说明:证法一运用了基木不等式，关键是对c+2陌-3龜赢进行恒等变形，创造条件运用基木不等式;证法二采用了换元法，关键是如何假设变最才解使差式化简。例5、当n>2时，求证:1ogn(n-1)1ogn(n+1)<1证明:Vn>2./.log,.(n-l)>0.logn(n+l)>0.•.logl)(n-l)log(n+l)logll(n+l),此结论应记住，它对我们今后的学习也是很有帮助

8、的，由它可以得到一连串不等式:Iog2324>log2425>log2526>lup2627>。1119例6、设a.b.cGR,求证：(a+方+(?)(11)2—.a+bb+cc+a2分析:如果把因式a+b+c乘到括号内，则所证不等式左边较复杂，很难看出用什么方法去证明，若我们注意分析该不等式左边的特征，它与三个变元的均值不等式的左边很类似，再联想到结论:当X.y.zeR