中学数学代数中几种常见不等式的证明

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1、中学数学代数中几种常见不等式的证明[]不等式是中学数学教学中的难点，也是竞赛的热点。它以优美的形式、丰富的内涵常受到广大师生的青睐。其证明方法多样，灵活度大，技巧性强，涉及知识面广。本文归纳介绍了代数不等式的证明，部分命题采用了多种证法，每类不等式都按照证明的方法进行分类。　　[关键词]中学数学；代数不等式；　　不等式是数学教学中的难点，也是竞赛的热点。它以优美的形式、丰富的内涵常受到广大师生的青睐。其证明方法多样，灵活度大，技巧性强，涉及知识面广。本文归纳介绍了代数不等式的证明，部分命题采用了多种证法，每类不等式都按照证

2、明的方法进行分类。　　证明不等式要比证明等式难些，所以证明不等式问题，首先要有良好的等式知识作基础。代数不等式是我们数学学习中最早接触的不等式。代数不等式的证明也是不等式证明中的主要内容，掌握代数不等式的证明方法有助于我们学习其它不等式的证明。　　1、比较法　　比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。比较法又分为求差比较法和求商比较法。　　1．1求差比较法求差比较法有三个步骤：作差、变形、判断符号。变形是把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式；或者变形为一个分式，或变形为几个因式的积的形式等

3、。总之，能够判断出差的符号是正或负即可。它的依据是：若，则，若，则。反之也对。根据这一原理证明不等式。作差法思路明确，简单易懂。　　例1设，n为偶数，求证：.　　证明：作差　　　　现在分两种情况考虑：　　（1）当a>0，b>0时，有,　　又,　　（2）当a，b中有一个为负时，不妨设,　　,　　.　　综合以上两种情况知，原不等式成立，当且仅当a=b时取等号。　　1.2求商比较法求商比较法也有三个步骤：作差、变形、判断大小。它的依据是：若a>0,b>0，则，，.　　例2已知a，b均为正数，求证：.　　分析：由于要比较的两式呈幂

4、的结构，故采用作商比较法证明　　令，　　当a>b时，，故；　　当时，，，故；　　当时，显然，　　所以a，b均为正数且有始终满足，即，即.原命题成立。　　用比较法证明不等式时，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的。变形的过程常常是因式分解或配方。一般说，如果不等式两边是多项式或分式时，作出不等式两边的差后，便于应用通分、因式分解、配方等恒等变形。如果不等式两边是乘幂形式时，用商值比较，便于应用指数法则。　　2、公式法　　运用公式法证明不等式首先需要重点掌握下面的公式及变形：　　若，当且仅当时取“=”号；　　若，当且仅当时

5、取“=”号，若为定值P，则当时，有最小值，若为定值S，则当时，有最大值；　　若，则当，当且仅当时取“=”号；　　若，则，当且仅当时取“=”号。　　公式法证明不等式的难点在于如何对所证命题进行变形，使其反应出某种形式的“积”与“和”之间的关系。　　例3设a，b，c，求证：.　　分析：不等式中有三个根式，根据均值不等式，我们可以把三个根式化成与之对应的分式，然后再把三个分式相加可得结果为2，即得原不等式的右边。由均值不等式知三个根式之和大于相对应三个分式的和（等于2），则原命题得证。　　证明：，　　同理，　　以上三式相加，右边

6、等于2，　　.　　3、分析法　　分析法是抽象思维的基本方法，也是数学中的两种常用的逻辑推证方法，它是将整体分解成若干部分的思维方法。具体说，先把研究的对象分解成若干个组成部分，然后通过对各个组成部分的研究，达到认识事物的基础或本质。分析法在数学证明方法中还特指由结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。即所谓“执果索因”的方法。它表现为：从数学题的特征、结论或需求问题出发，一步步地进行探索到题设的已知条件。分析法的逻辑模式为：若要……只需……，即要证明什么，为此只需证明什么。　　例4设x，y，z为互不相等的正数，求证：　　.

7、　　证明：先将要证明的不等式看作一个整体，并且假设成立，然后通过变形，将它分解成一些适当的部分：　　，　　再通过适当的组合，将不等式的左端重新组合得：　　，　　再分析三个新的部分：　　由于,，.　　因而根据题设条件，这三个部分显然成立，所以原不等式成立。　　4、整体法　　对于一个数学证明问题，应着眼于问题的整体结构，而不是着眼于它的局部特征，通过全面、深刻地考察，从宏观上理解和认识问题的实质，挖掘和发现已有元素在整体结构中的地位和作用，从而找到证明问题的思路。　　例5对于一切大于1的自然数n，证明不等式　　.　　分析：本题

8、可用数学归纳法证明，但步骤繁复，若用整体结构证明则可比较简单。　　设，（）　　构造与之对应的式子，对于自然数都有　　，所以，故,　　即.原不等式成立。　　5、构造法　　构造法是以“构造”为主要特点的证明方法。即利用观察和联想，恰当地构造出一个（或几个）与原问题有关的辅助问题。从而把原问题转化为比较简单或