第7章离散控制系统

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1、第7章离散控制系统7.1离散控制系统的数学模型7.2离散状态方程的求解7.3离散系统的能控性和能观性7.4离散系统的稳定性7.5离散系统的综合7.6离散系统最优控制1、离散系统最优控制问题离散系统最优控制问题描述包括以下几点：1）系统状态方程2）初值约束和终值约束，如23/233）控制约束4）性能指标离散系统最优控制就是寻求一个最优容许控制序列，实现由到的状态转移序列，并使上述性能指标取极值。离散系统最优控制也称为N步决策问题。2、离散极小值原理23/23对应于连续系统的极小值原理，离散时间系统极小值原理如下：设离散系统状态方程为性能指标为端部约束为，引入伴随向量，构造哈密尔顿函数最优控

2、制序列的必要条件为：23/23正则方程控制方程当控制无约束时为边界条件23/23以上各式中，3、离散系统二次型性能指标最优控制考虑状态调节器问题。◆有限步数离散时变二次型最优状态调节器1）最优控制必要条件设线性离散系统状态方程为性能指标为式中，、、为对称权矩阵。哈密尔顿函数23/23伴随方程控制方程解得最优控制序列代入状态方程得（*）23/23该式与伴随方程（**）构成两点边界值问题。其边界条件为如求出该边界值问题的解，便可得到最优状态向量和伴随向量，从而由控制方程求出开环形式的最优控制序列。2）状态反馈矩阵计算为得到状态反馈闭环控制形式，受的启发，对线性系统，设将其代入式（**），则得

3、23/23整理得将代入式（*），并利用上式，得上式对任何都成立，故有下列关系，即离散形式的黎卡提方程（黎卡提矩阵差分方程）：或在终止阶段，，有23/23将其与比照后可知因此，从起步“倒算”，即可唯一定出矩阵的序列值：设存在，则由伴随方程，可有代入表达式得23/23即式中，为状态反馈矩阵序列：（*）至此得到最优控制的闭环形式。的另外两种表达形式：●由黎卡提方程可得将其代入式（*）,得23/23●由于因此23/233）最小性能指标计算证明略。4）最优状态反馈闭环系统结构：◆定常离散系统二次型最优状态调节器设能控线性定常离散系统为：23/23性能指标为式中，、为对称定常权矩阵。最优控制为式中，

4、为状态反馈常矩阵：其中，常矩阵是下列黎卡提矩阵代数方程的解：矩阵还可表为：23/23可以证明，闭环状态方程为最优性能指标为说明：在计算机上直接求解高维黎卡提矩阵代数方程既麻烦又不可靠。一种实用的方法是：设然后令用黎卡提差分方程进行递推计算，当（为很小的正数）时，令即可。对能控系统黎卡提差分方程有唯一正定23/23解。例：给定离散系统和性能指标为式中，，，，，，求最优控制序列。解：（1）由，23/23，逆向递推求出。（2）由计算。（3）由，计算。（4）由计算。（5）由计算性能指标。结果如表列所示。0123/2323456781.8956可见，反馈矩阵23/23除了最后几个值变化明显外，其余

5、的几乎都是常数矩阵。若取，将发现都是常数矩阵，只有才是变化的。因此，当很大时，可用常数阵去近似替代时变的阵。===========4、离散动态规划基于最优原理，对上述连续系统的任一和状态，其后的最优控制实现的最优性能指标为当，将其离散化：采样周期；当前采样步数k;23/23最终采样步数N;，自第k步（状态为）之后的最优控制序列实现的最优性能指标，则有此即离散形式的动态规划贝尔曼方程。当k=N时,（已知）求解步骤：前推+回代前推：自k=N即最后一步，由已知的开始“向前”递推：1）23/23简记为,2）,3）,N-1）,23/23N）,回代：自k=0，由已知的,开始“回代”递推：1），2），

6、N-1），N），结果：23/23。由上可知，，这表明某时刻的最优控制变量只是同时刻的状态变量的函数，采用状态反馈即可实现，但这一函数关系是时变的，每一时刻的函数关系必须事先计算出来，存储在计算机中实时查询。因计算量和存储量太大，动态规划法难以用到高阶多段优化问题。但在对状态和控制的约束越严越能发挥优势。算例和分析见戴543-545页。====23/23离散时间系统极小值原理应用方法如下：钟P155方法1：规范方法先由极值条件求出方法2：试差法23/23