专题6.3 数列的综合问题-2015版3-2-1备战2016高考精品系列之数学（理）（解析版）

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1、【三年高考】1.【2015高考福建，理8】若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）A．6B．7C．8D．92.【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和为，证明（）.【解析】（1）由题意得，，即，，由，得，由得，，即；（2）由题意得，∴①，由和得，，名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！30∴，因此②，由①②得.3.【2015高考安徽，理18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.（Ⅰ

2、）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，证明.4.【2015高考上海，理22】已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.【解析】（1）由，得，所以是首项为，公差为的等差数列，故的通项公式为，.（2）由，得.所以为常数列，，即.因为，，所以，即.故的第项是最大项.（3）因为，所以，当时，名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！30.当时，，符合上式.所以.因为，所以，.①当时，由指数函数的单

3、调性知，不存在最大、最小值；②当时，的最大值为，最小值为，而；③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.综上，的取值范围是.5.【2015高考陕西，理21】设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！30解法二由题设，当时,当时,用数学归纳法可以证明.当时,所以成立.假设时，不等式成立，即.那么

4、，当时，.又名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！30，令，则，所以当,,在上递减；当,,在上递增.所以，从而，故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，所以,令当时,,所以.当时,，而，所以，.若，，，当，，，从而在上递减，在上递增.所以，所以当又，，故，综上所述，当时，；当时.6．【2014高考大纲理第18题】等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前n项和.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样

5、的高考！307．【2014高考湖北理第18题】已知等差数列满足：，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【解析】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以，解得或，当时，；当时，，所以数列的通项公式为或.（2）当时，，显然，不存在正整数，使得.当时，，令，即，解得或（舍去）此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.综上所述，当时，不存在正整数；当时，存在正整数，使得成立，的最小值为41.8．【2014高考上海理科第2

6、3题】已知数列满足.（1）若，求的取值范围；（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！309．【2014高考重庆理科第22题】设（Ⅰ）若，求及数列的通项公式；（Ⅱ）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.【解析】（Ⅰ）解法一：，再由题设条件知，从而名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！30是首项为0公差为1的等差数列，故=，即解法二：，可写为.因此猜想.，下用数学归纳法

7、证明上式：当时结论显然成立.假设时结论成立，即.则，这就是说，当时结论成立.，所以（Ⅱ）解法一：设，则.令，即，解得.下用数学归纳法证明加强命：当时，，所以，结论成立.假设时结论成立，即，易知在上为减函数，从而，即，再由在上为减函数得.故，因此，这就是说，当时结论成立.综上，符合条件的存在，其中一个值为.解法二：设，则，先证：……①当时，结论明显成立.假设时结论成立，即，易知在上为减函数，从而，即这就是说，当时结论成立，故①成立.再证：………………………………②当时，，有，即当时结论②成立假设时，结论成立，

8、即，由①及在上为减函数，得，这就是说，当时②成立，所以②对一切成立.由②得即，因此，又由①、②及在上为减函数得名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！30，即，所以解得.综上，由②③④知存在使对一切成立.10.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为________.11．【2013年普通高等学校统一考试江