数学真题答案

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1、2000年、填空题1.答案：4’考査定积分的计算.注意到根式内是一元二次多项式,一般应先配方，再作变量代换.兀血，相当于以y=V2x-x2（0【"题目的】【详细［易错辨析］【延抻拓展】—<1）为边的曲边梯形的面积，即圆（塔-1）2+犷=1的面积的即乎，故有f=7T【即麵目的】【详细解答］T考查求曲面的法线方程.令F(x,y,z)=x2+2y2+3z2-21,则有F(l,-2,2)=2%F；(l,-2,2)=4y(h-2.2)=_8?=12.(h-2t2)因所求法线方程为：%—1_y+2_z-2-46•1=_.【易错辨析y先求曲面的法向量，再写岀法线方程.

2、til【延伸拓展】本题是求曲面法线的基本题.求平面曲线的切线和法线方程、空间曲面的切平面及法线方程是常考的几何应用内容，相关公式应牢记._p^23.微分方程弓"+3/二0的通解为・答案：'1x'I布题目的1考查微分方程的求解•【详细旃*】令卩=/,则原方程化为,3nP+：P…其通解为p=Cx~3.因此r=Jex_3dx=Cl一¥产=C]+¥，（C?二—y）.【易错辨析】这是标准化的二阶可降阶微分方程，应用固定解题步骤即可.【延伸拓展1可降阶的微分方程主要有三类”⑴每一类都有固定解法，这些解法应该熟练掌握.【e題b的】本题考査线性方程组有解的判别定理.答案：

3、-1【禅细班答】化增广矩阵为阶梯形，有仃21:1M223a+2；3卜0一1kla■2：0丿IOa-20<0a；1(a+3)(a+l)；a-3>可见，当a=-1时，系数矩阵的秩为2,而增广矩阵的秩为3,因此方程组无解•注意，当a=3时,系数矩阵和增广矩阵的秩均为2,方程组有无穷多解.【易错辨析】注意避免计算错误.【延伸拓展】方程个数与未知量个数相同的线性方程组在系数行列式等于零时无解或有无穷多解，具体是哪一种情况,应根据系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等来进一步判断.25.答案：3【弗题目的】考査事件概率的廿算、事件的独立性.【详细篇答】由题设，有11111■

4、—P⑷)=*,P(4B)=P(AB).因为相毛虫立，所马4与瓦才与艮才与g也相互独立•于是由P(4B)=P(AB),有P(A)P(&)=P(A)P(B)9即有P⑷[1-P(B)]=[1-P(4)]P(B),可得P(A)=P(B),从而P(扁)=P(AB)P(B)=[1-P(A)]2=解得P⑷=y.【易错辨析】利用事件的运算公式和事件的独立性即可求解•注意4,B独立与A.B互不相容不是一个概念.__【延伸拓展1注意:若4,B独立，则4,斤也相互独立，才与B也相互独立.二、选择题设/&)、g(尤)是恒大于零的可导函数，且fMg(x)-/(%)gz(%)<0,则

5、当af(b)g(x).(C)/(x)g(x)>/(6)g(6).答案:A【"魁目的】考査导数的JS【详细解答】由题没知(B)/(x)g(a)>/(a)g(x).(D)/(x)g(x)>f(a)g(a).考査导数的应用.由题没知_f(兀)g(尤)一/(兀)g'(久)/(6)g(x),可见(A)为正确选项.【易错辨析】由于是要证明不等式，仍然考虑用函数的单调性证明,于是考虑将题设转化为某函数的导数.【延伸拓展】本题的解题过程表明，记住一些常见函数求导结果，会有助于提

6、高解题能力•例如由/(x)g(x)-/(%)g，(%)想到这是函数哄求导的结果的分子部分.gx)7.设5：^+/+^=aXz^O）,S｝为S在第一卦限中的部分，则有(A)JxdS=4^dS・(B)JydS=4jptdS・(C)JJzdS=4^xdS.sa(D)JxyzdS=4gyzdS.S3答案:c【卯题目的】考査第一型曲面积分的计算.【惮细»♦］显然，待选答案的四个右端项均大于零，而S关于平面先二0和歹=0对称,因此,（A）,（B）,（D）三项中的右端均为零，可见（C）-定为正确选项•事实上，有>=4J^xdS.【易错辨析】注意第一型曲面积分的性质，利

7、用曲面的对称性即可得解.【延伸拓展】定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分均有类似的对称性，应该注意掌握.8.设级数工/收敛，则必收敛的级数为n«1（A）f（_l）逬（B）ix（応仏--％）・（D）f仏+%

8、）・【】n=lnT

9、答案:D［目的1考查收敛级数的性质.【详细鮮答】利用级数的性质即知，（D）为正确选项•事实上，（A）、（B）、（C）三个选项可举反例说明不正确的•例如：£（-i）士收敛，但£（-1）“半=发散,可排除⑷；001881工（-1）”*收敛,但工止=£丄发散，可排除（B）；n=1yno=ln=1“£（-1严占收敛，但壬（叫］-%）

10、二£（占+右）mV丄发散，可排除（C）.—1nEZn-1Inn【易