误差理论与数据处理第8章线性参数的最小二乘法与组合测量

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1、4-1第八章线性参数的最小二乘法处理教学目的和要求：通过本章内容的教学，使学生对间接测量不确定度的评定、合成标准不确定度的分配和最佳测量方案的设计有一个系统和全面的了解。要求学生能够熟练的进行间接测量数据的不确定度评定；掌握合成标准不确定度分配的基本原则；初步掌握最佳测量方案设计的方法。主要内容：1．间接测量不确定度的评定：评定的基本公式、评定方法与步骤、实例。2．合成标准不确定度的分配：按等作用原则分配合成标准不确定度、按可能性调整分配后的不确定度、验算调整后的不确定度。3.最佳测量方案的设计：最佳测量函数公式的选择、灵敏系数最小选择。第

2、一节　最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。对某量　进行测量，得到一组数据,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为测得值　落入　　　的概率测得值同时出现的概率为最可信赖值满足权因子虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。第一节　最小二乘法原理线性参数的最小二乘法处理一般地，线性函数的数学模型为Y＝f（X，a）那么，线性函数的测量方程为(8-1)其相应的估计量为8-2相应的残余误差方程为8-3第二节　正规方程组合测量基本概念如为

3、精密测定1号、2号和3号电容器的电容量测得值待解的数学模型待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。一、等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程线性参数的残余误差方程为正规方程组可写为矩阵形式例8—1在不同温度下测定铜棒的长度如下表，试估计0℃时的铜棒长度y0和铜的线膨胀系数a。i123456ti／℃102025304045li／℃2000.362000.722000.802001.072001.482001.60解测

4、量铜棒长度的数学模型是y＝y0（1＋at）由此列出测量方程yi＝y0（1＋ati）（i＝1，2，…，6）可得残余误差方程vi＝li－y0（1＋ati）（i＝1，2，…，6）其中li——在温度ti下铜棒长度的测量值；a——铜的线膨胀系数。令y0＝a，ay0＝b为待估计的两个参数，则残余误差方程可写为vi＝li－（a＋tib）（i＝1，2，…，6）为了方便计算，将数据列表如下iti／℃ti2／℃2li／mmtili／（℃·mm）1101002000．3620003.62204002000．7240014.43256252000．8050020.

5、04309002001．0760032.154016002001．4880059.264520252001．6090072.0∑170565012006.03340201.3根据残余误差方程，按式（8—22）写出正规方程将表中计算出的正规方程的系数和常数代入正规方程，则有解之a＝1999.97（mm）b＝0.03654（mm／℃）即y0＝1999.97（mm）若按矩阵形式计算，则有C＝C－1＝ATL＝于是可得所以a＝1999.97（mm）b＝0.03654（mm／℃）即y0＝1999.97（mm）因此，铜棒长度y随温度t的线性变化的规律为

6、y＝1999.97×（1＋0.0000183t）mm二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程不等精度测量时线性参数的残余误差方程与等精度相同，不同之处在于进行不等精度测量线性参数最小二乘法处理时，要取加权残余误差平方和为最小，即不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为测量残差方程组含有随机误差矩阵形式最小二乘法原理式求导正规方程组正规方程组解不等权正规方程组不等精度测量线性参数最小二乘法处理时，要取加权残余误差平方和为最小，即为简化表达式，不妨令将加权残余误差的平方和分别对各x1，x2，…

7、，xt求偏导数，并令其等于零，即上列各式的二阶偏导数恒正，即┇由此可知，加权残余误差的平方和的极小值存在。而由一阶偏导数等于零所构成的线性方程组为（8—28）线性方程组（8—28）称为不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程。这是一个t元线性方程组，在其系数行列式不等于零时，有唯一确定的解。这一确定的解满足最小二乘法原理式（8—7）、是未知参数的最佳估计量。线性方程组（8—28）在形式上有如下特征：1沿方程组主对角线上分布的项的系数（j＝1，2，…，t）都是正数；2以主对角线为轴对称分布的项的系数相等，如若不等精度测量数据l1，l2，…

8、，ln的权分别为w1，w2，…，wn，将不等精度测量的正规方程式（8—28）单位权化，即令于是，不等精度测量的正规方程式（8—28）转化为（8—29）显然，正规方程式（8—29）