2018-2019学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布练习（含解析）新人教A版选修2-3

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1、2.4　正态分布课后作业提升1.下面给出了关于正态曲线的4个叙述:①曲线在x轴上方且与x轴不相交;②当x>μ时,曲线下降;当x<μ时,曲线上升;③当μ一定时,σ越小,总体分布越分散;σ越大,总体分布越集中;④曲线关于直线x=μ对称,且当x=μ时,位于最高点.其中正确的有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.1个B.2个C.3个D.4个解析:当μ一定时,σ越小,曲线越“瘦高”,即总体分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散.只有③错误,①②④正确.答案:C2.设随机变量ξ服从正态分布N(2,

2、9),若P(ξ>c+1)=P(ξc+1)=P(ξ2)等于(　　)A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4解析:因为P(ξ>2)+P(0≤ξ≤2)+P(-2≤ξ≤0)+P(ξ<-2)=1,P(ξ>2)=P(ξ<-2),P(0≤ξ≤2)=P(-2≤ξ≤0),所以P(ξ>2)=[1-2P

3、(-2≤ξ≤0)]=0.1.答案:A4.下图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是(　　)-4-A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3解析:当μ=0,σ=1时,正态曲线f(x)=.在x=0时,取最大值,故σ2=1.由正态曲线的性质,当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”;σ越大,曲线越“矮胖”,于是有0<σ1<σ2=1<σ3.答案:D5.某厂生产的零件直径ξ~N(10,0.

4、22),今从该厂上午和下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为9.9cm和9.3cm,则可认为(　　)A.上午生产情况未见异常现象,下午生产情况出现了异常现象B.上午生产情况出现了异常,而下午生产情况正常C.上午和下午生产情况均是正常D.上午和下午生产情况均出现了异常现象解析:3σ原则:(10-3×0.2,10+3×0.2),即(9.4,10.6),9.9∈(9.4,10.6),9.3∉(9.4,10.6),所以,上午生产情况未见异常,下午生产情况出现了异常.答案:A6.已知正态分布总体落在区间

5、(0.2,+∞)的概率为0.5,那么相应的正态曲线φμ,σ(x)在x=　　　时达到最高点. 解析:由已知P(X>0.2)=P(X≤0.2)=0.5,所以,正态曲线关于x=0.2对称.由正态曲线性质得正态曲线在x=μ=0.2时达到最高点.答案:0.27.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为　　　　　. 解析:测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),正态曲线的对称轴为x=1,ξ在(0,1)内取值的概率为0.4

6、,可知,随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同,也为0.4,这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.答案:0.88.若随机变量ξ~N(10,σ2),若ξ在(5,10)上的概率等于a,a∈(0,0.5),则ξ在(-∞,15)上的概率等于　　　　　. -4-解析:P(10<ξ<15)=a,故P(-∞<ξ≤5)=(1-2a)=-a,所以ξ在(-∞,15)的概率等于-a+a+a=+a.答案:+a9.某人乘车从A地到B地,所需时间X(分钟)服从正态分布N(30,100),求此人在

7、40分钟至50分钟到达目的地的概率.解:μ=30,σ=10.由于P(μ-σ

8、数学考试中,考生的成绩ξ服从一个正态分布,即ξ~N(90,100).(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少?(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩位于区间(80,100)上的考生大约有多少人?解:∵ξ~N(90,100),∴μ=90,σ==10.(1)由于正态变量在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率是0.9544,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=11