数字信号处理-第3章

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1、数字信号处理DigitalSignalProcessing主讲：张弘西安电子科技大学微电子学院第三章离散傅立叶变换由于数字信号处理器只能处理离散信号，所以还需要将离散时间序列进行频域离散化即：要找到依赖于离散时间变量到依赖于离散频率变量之间的一种映射关系。这就是DFT的作用2数字信号处理－离散傅立叶变换连续非周期－非周期连续连续周期－非周期离散离散非周期－周期连续离散周期－周期离散适合数字信号处理器时域频域结论总之，一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓，而一个域的非周期与另一个域的连续是相对应的。3数字信号处理－离散傅立叶变

2、换3.1离散傅里叶变换的定义1、DFT的定义设x（n）是一个长度为M的有限长序列，则定义x（n）的N点傅立叶变换和傅立叶逆变换分别为式中，，N称为DFT变换区间长度，说明：（1）x(n)是有限长序列，且长度为M。与傅立叶变换和z变换不同，n仅定义在[0,M-1]的整数区间上；（2）x(n)的离散傅立叶变换的结果与变换区间长度有关。4数字信号处理－离散傅立叶变换DFT的矩阵方程表示3.1离散傅里叶变换的定义5数字信号处理－离散傅立叶变换2、DFT和Z变换的关系3.1离散傅里叶变换的定义结论：序列x（n）的N点DFT是x(n)的Z变

3、换在单位圆上的N点等间隔采样；或者说，X(k)为x(n)的傅立叶变换在区间[0，2]上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。6数字信号处理－离散傅立叶变换3.1离散傅里叶变换的定义由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示对在[0，2]区间上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。7数字信号处理－离散傅立叶变换3.1离散傅里叶变换的定义3、DFT的隐含周期性由于所以X(k)满足：同理可证明，x(n+mN)=x(n)8数字信号处理－离散傅立叶变换3.1离散傅里叶变换的定义例：是周期为N=8的序列，求n=11和n=-

4、2对N的余数。9数字信号处理－离散傅立叶变换4、DFT与ZT、FT、DFS的关系DFT与ZT和FT之间的关系:DFT与DFS之间的关系:3.1离散傅里叶变换的定义10数字信号处理－离散傅立叶变换结论采样定律告诉我们，一个频带有限的信号，可以对它进行时域采样而不丢失任何信息；DFT变换进一步告诉我们，对于时间有限的信号（有限长序列），也可以对其进行频域采样，而不丢失任何信息。由于时域上的采样，使我们能够采用数字技术来处理这些时域上的信号（序列），而DFT的理论不仅在时域，而且在频域也离散化，因此使得在频域采用数字技术处理成为可能。

5、DFT就是频域数字处理中最有成效的一例。3.1离散傅里叶变换的定义11数字信号处理－离散傅立叶变换性质1线性DFT[ax(n)+by(n)]=aX(k)+bY(k)其中，a,b为任意常数3.2离散傅里叶变换的基本性质12数字信号处理－离散傅立叶变换性质2循环（圆周）移位有限长序列x(n)的循环移位定义为：f(n)=x((n+m))NRN(n)其中x((n+m))NRN(n)表示对移位的周期序列x((n+m))N取主值序列所以f(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。f(n)实际上可看作序列x(n)排列在一个N等分圆周上，并向左旋转

6、m位。3.2离散傅里叶变换的基本性质注：引用的3个java图例为东南大学DSP网站共享程序13数字信号处理－离散傅立叶变换3.2离散傅里叶变换的基本性质序列循环移位后的DFT为F(k)=DFT[f(n)]=x(k)频域有限长序列X(k)的循环移位，有如下反变换特性IDFT[X((k+l))NRN(k)]=x(n)14数字信号处理－离散傅立叶变换性质3循环（圆周）卷积若F(k)=X(k)Y(k)则：记做频域循环卷积F(K)3.2离散傅里叶变换的基本性质15数字信号处理－离散傅立叶变换注意循环卷积与线性卷积关系（1）离散频域的有限长

7、序列卷积（循环卷积）与连续频域的卷积（线性卷积）有很大的区别，这是由于FT在-∞到∞讨论问题，而DFT仅能在[0,N-1]区间上讨论问题，更重要的是有限长序列的卷积本质上是周期序列的线性卷积；（2）手工计算圆周卷积的法则依然是”翻、移、乘、加”，只是序列的翻转是在圆周上进行的；（3）有限长序列的圆周卷积与线性卷积相等的条件是L≥L1+L2-13.2离散傅里叶变换的基本性质16数字信号处理－离散傅立叶变换复共轭序列的DFT设x*（n）为x（n）的复共轭序列，则DFT[x*（n）]=X*(N-k)证：DFT[x*(n)]0≤k≤N-

8、1由于因此，DFT[x*(n)]性质417数字信号处理－离散傅立叶变换3.2离散傅里叶变换的基本性质性质5DFT的共轭对称性18数字信号处理－离散傅立叶变换3.2离散傅里叶变换的基本性质有限长共轭对称序列和共轭反对称序列19数字信号处理－离散傅立叶变换对于任何有