数字信号处理 第3章

《数字信号处理 第3章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法3.1序列Z变换的定义3.2序列特性对收敛域的影响3.3逆Z变换3.4Z变换的性质和定理3.5利用Z变换解差分方程3.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性习题第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　3.1序列Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义如下:nX(z)x(n)z(3.1.1)n式中,z是一个复变量，可以表示为　　zRezjIm[z]rej(3.1.2)第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　式中,r和ω均为实变量。注意在定义中，对

2、n求和是在-∞~+∞之间求和，故称为双边Z变换。还有一种针对因果序列的Z变换，称为单边Z变换，定义如下：nX(z)x(n)z(3.1.3)n0(3.1.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，用公式表示如下：　nx(n)z(3.1.4)n第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　要使上式成立，除和序列x(n)有关以外，和z变量在z平面上取值的域也有关。如果对于某个序列，称能使上式成立的z变量取值的域为X(z)的收敛域,则可以推想,对于不同的序列,就有不同的收敛域。　收敛域一般用下式表示：　　R＜

3、z

4、＜R(3.1.

5、5)x-x+按照(3.1.2)式，上式也可改写成下式：　　R＜

6、r

7、＜R(3.1.6)x-x+第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　(3.1.5)式和(3.1.6)式表示，收敛域一般是用一个环状域表示的，这里R和R分别是两个圆的半径，收敛x-x+域就是用这两个圆形成的环状域表示的，如图3.1.1中斜线部分所示。R和R可称为收敛半径，当然R可x-x+x-小到零，R可以大到无穷大。x+第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　Im[z]RRe[z]x－ORx＋图3.1.1Z变换的收敛域第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　常用的Z变换是一个有理

8、函数，可用两个多项式之比表示：　　P(z)X(z)Q(z)(3.1.7)分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式的根是X(z)的极点。在极点处X(z)不存在，因此可以推想收敛域中肯定没有极点，那么收敛域也肯定是以极点为边界。总结以上所述,Z变换收敛域的特点是：　(1)Z变换只存在在收敛域中，不同的序列有不同的收敛域。　(2)收敛域用环状域表示，且总是以极点为边界。第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　例3.1.1设x(n)=0.9nu(n),求它的Z变换，并确定收敛域。　解按照Z变换的定义,推导如下：nnnnX(z)0.9u(n)

9、z0.9znn如果上式的X(z)存在，则要求满足绝对可和的条件，即要求下式成立：　　nn0.9zn0第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　由上式得到：

10、0.9z-1

11、＜1,解该不等式，得到：

12、z

13、＞0.9，这就是X(z)的收敛域。　在该收敛域中,x(n)的Z变换为　1X(z)z0.9110.9z上式也可以写成　　zX(z)z0.9第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　收敛域的示意图如图3.1.2所示(图中斜线部分)。收敛域

14、z

15、＞0.9也可以写成0.9＜

16、z

17、≤∞。但要注意如果收敛域是0.9＜

18、z

19、＜∞，不能

20、写成

21、z

22、＞0.9。　第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　Im[z]b＝0.9bRe[z]O图3.1.2收敛域第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　下面将Z变换和已学过的傅立叶变换进行对比，看它们之间有什么关系。　将Z变换的定义(3.1.1)式和傅立叶变换的定义(2.2.1)式重写如下：nX(z)x(n)znjjnX(e)x(n)en对比上面两式，得到序列Z变换和它的傅立叶变换之间的关系：　X(ejω)=X(z)

23、(3.1.8)z=ejω第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　上面关系式表明如果已知序列x

24、(n)的Z变换X(z)，只要将z=ejω带入X(z)，便得到它的傅立叶变换X(ejω)。另外，z=ejω在z平面上是半径为1的圆，辐角是ω，它被称为单位圆，如图3.1.3所示。第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　Im[z]z＝ej－1O1Re[z]图3.1.3Z平面上的单位圆第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法　　　　例3.1.2x(n)=u(n),求其Z变换和收敛域。　解nnX(z)u(n)zznn0X(z)存在的条件是

25、z-1

26、＜1，因此收敛域是

27、z

28、＞1，在收敛域中，它的Z变换为　　1X(z)z111z第