复变函数合辑

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1、第二章解析函数本章首先介绍复变函数的导数概念和求第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数导法则，在此基础上，介绍解析函数的概念及判别法。第一节解析函数的概念一、复变函数的导数与微分1.导数定义:第一节解析函数的概念等价定义:第一节解析函数的概念内可导。导函数记为解:第一节解析函数的概念证:第一节解析函数的概念2.可导与连续的关系证明:第一节解析函数的概念反之:由例2可知3.求导法则(与高等数学相同)第一节解析函数的概念第一节解析函数的概念4.微分的概念第一节解析函数的概念称第一

2、节解析函数的概念二、解析函数定义:第一节解析函数的概念注意:第一节解析函数的概念例3.解:第一节解析函数的概念例4.解:第一节解析函数的概念第一节解析函数的概念例5.解:第一节解析函数的概念定理:(解析函数的运算法则)第一节解析函数的概念例如:第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第二节函数解析的充要条件解析性是很复杂的，有时是很困难的.因此,有必要寻找判别函数解析的简便方法.由前节的讨论看出，用定义判别一个函数的定理一(函数在一点可导的充分必要条件)第二节函数解析的充要条件证明:第二节函

3、数解析的充要条件第二节函数解析的充要条件第二节函数解析的充要条件第二节函数解析的充要条件第二节函数解析的充要条件定理二(函数解析的充分必要条件)注:第二节函数解析的充要条件例1判定下列函数在何处可导，在何处解析.解:第二节函数解析的充要条件解:第二节函数解析的充要条件解:第二节函数解析的充要条件解:第二节函数解析的充要条件解:第二节函数解析的充要条件证明:第二节函数解析的充要条件证明:第二节函数解析的充要条件即曲线族正交.即曲线族正交.第二节函数解析的充要条件第二节函数解析的充要条件第三节初等函

4、数本节将把实变量函数中一些常用的初等函数推第三节初等函数广到复变量函数中，研究这些函数的性质，特别是解析性.一、单值函数1.指数函数:特别的:第三节初等函数性质:第三节初等函数2.三角函数定义:特别的:z=y时，与实变量函数一致第三节初等函数性质:第三节初等函数常用的三角恒等式:第三节初等函数解:第三节初等函数其它三角函数:3.双曲函数定义:性质:第三节初等函数基本公式:第三节初等函数二、多值函数1.对数函数:第三节初等函数几何意义:第三节初等函数例1求下列各值及相应的主值解:此题说明:复数域内

5、，负数的对数有意义.第三节初等函数解:解:第三节初等函数性质:注:指集合相等证明:第三节初等函数注意:例如:第三节初等函数第三节初等函数第三节初等函数可见，不同分支上相同点的导数值相等2.乘幂与幂函数(1)乘幂:第三节初等函数特别的:第三节初等函数解:第三节初等函数第三节初等函数(2)幂函数:特别的:第三节初等函数第三节初等函数3.反三角函数与反双曲函数:（1）反三角函数:设z=cosw,则w=f(z)为反余弦函数记作w=Arccosz第三节初等函数第三节初等函数（2）反双曲函数:设z=shw,

6、则w=f(z)称为反双曲正弦记作w=Arshz第三节初等函数