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1、第二章系统的数学模型Thursday,April09,20151本章的主要内容控制系统微分方程建立传递函数控制系统的框图和传递函数控制系统的信号流图Thursday,April09,20152概述[数学模型]：描述系统中各变量（物理量）之间关系的数学形式和方法。叫做系统或元件的数学模型。建模：了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型。物理模型：任何元件或系统都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要据问题的性质和求解的
2、精确要求，来确定出合理的物理模型。Thursday,April09,20153建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。常用的数学模型：微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。Thursday,April09,20154数学模型的几种表示方式数学模型时域模型频域模型方框图和信号流图状态空间模型Thursday,April09,20155静态关系系统中变量的关系动态关系Thursday,April09,20156[静态关系或静态特性]：系统中各变量随时间变化
3、缓慢，以至于它们对时间的变化率（导数）可忽略不计时，这些变量之间的关系称为静态关系。称系统处于静态。表示静态关系的数学表达式中没有变量对时间的导数项。处于静态的系统，知道了系统的输入量即可确定系统的输出量及其它变量。Thursday,April09,20157[动态关系或动态特性]：系统中的变量对时间的变化率不可忽略，这时各变量之间的关系称为动态关系或动态特性。系统称为动态系统，相应的数学模型称为动态模型。对于动态系统，为了确定输出量和其它变量，仅仅知道输入量是不够的，还必须知道一组变量的初始值。Thu
4、rsday,April09,20158控制理论研究的是动态系统。动态系统的数学基础是微分方程，又称为动态方程或运动方程。对于一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。分析法建立数学模型的方法实验法Thursday,April09,20159[分析法]：根据系统中各元件所遵循的物理、化学、生物等各种科学规律和运行机理，列出微分方程式。又称理论建模。[实验法]：人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼进。Thursday
5、,April09,201510实验法－基于系统辨识的建模方法输入（已知）输出（已知）黑匣子已知知识和辨识目的实验设计--选择实验条件模型阶次--适合于应用的适当的阶次参数估计--最小二乘法模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近Thursday,April09,201511数学模型建立后，研究系统主要指研究系统所对应的数学模型，以数学模型为基础，分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。Thursday,April09,
6、2015122.1控制系统微分方程的建立Thursday,April09,201513微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。nn1n2actactactactact012n1nnn1n2brtbrtbrtbrtbrt012n1n（2－1－1）Thursday,April09,201514采用解析法建立系统微分方程的一般步骤：●根据研究问题的需要，确定系统的输入量和输出量;●
7、根据系统、输入和输出三者之间动态关系的原理或定律，列写系统的微分方程，可增设中间变量，对实际系统进行适当简化；例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。Thursday,April09,201515●消去中间变量，整理出只含有输入量和输出量及其各阶导数的方程；●标准化，将方程整理成标准形式，即将与输出有关的项列在等号左边，而将与输入有关的项列在等号右边，且各阶导数项按阶次由高到低的顺序排列。可将各项系数归化成具有一定物理意义的形式。Thursday,April09,201
8、5161.电气系统●由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。●无源器件：本身不含有电源的器件。电阻、电感、电容●有源器件：本身含有电源的器件。运算放大器Thursday,April09,201517●无源网络：仅由无源器件组成的电气网络。●有源网络：包含有源器件或电源的电气网络。Thursday,April09,201518●基尔霍夫电流定律和电压定律i0(2－1－2)u0(2－1－3)●理想电阻、电感、电容两
