《成型自动控制基础》教学课件：2.1-2.2 微分方程及拉氏变换.pdf

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1、6学时在自动控制系统的设计中，为了使所设计的闭环自动控制系统的暂态性能满足要求，必须对系统材料成形自动控制基础的暂态过程在理论上进行分析，掌握其内在规律。用来描述系统暂态过程的数学表达式便称为系统的数学模型。常用的数学模型有：微分方程、传第2章控制系统的数学模型递函数、结构框图、信号流图等。2.1-2.2微分方程及拉氏变换建立系统数学模型的常用方法：①理论分析法②系统辨识法。可以兼用理论分析和系统辨识法2016年3月18日星期五12016年3月18日星期五2线性系统的特点：可以应用叠加原理。叠加原理线性系统：能够用线性微分方程描述的系统。若该包含两方面的内容，即可加性和均匀

2、性。线性微分方程中的系数是常数，相应的系统称线性()xi1txo1(t)定常系统；若这些系数是时间或输入量的函数，相线性系统应的系统称为线性时变系统；如果系统只有一个输入量和一个输出量，相应的系xi2(t)xo2(t)统称为单输入单输出系统（SISO）。经典控制理论线性系统研究的对象就是线性定常单输入单输出系统。xi1(t)+xi2(t)xo1(t)+xo2(t)非线性系统：只能够用非线性微分方程描述的系统可加性：线性系统称为非线性系统。均匀性：k⋅xi1(t)k⋅xo1(t)线性系统2016年3月18日星期五32016年3月18日星期五4[例2-2]求弹簧-阻尼-质量的机

3、械位移系统的微[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程。分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。[解]：据基尔霍夫电路定理：[解]：图1和图2分别为系LRFkxuiiCuodi1Fk统原理结构图和质量块L+Ri+∫idt=ui①mm受力分析图。图中，m为dtCui输入1x质量，f为粘性阻尼系uo输出uo=∫idt②ffx&m&x&数，k为弹性系数。C图1图2duo2duduoo由②：i=C，代入①得：LC2+RC+uo=ui根据牛顿第二定律，可列出质量块的力平衡方程如下：dtdtdtm&x&+fx&+kx=F这是一个线性定常二阶微分方程。这也是一个二阶定常微分方程。x为输

4、出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg,N.s/m,N/m2016年3月18日星期五52016年3月18日星期五6[需要讨论的几个问题]：2、非线性元件（环节）微分方程的线性化1、相似系统：如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。系统为线性定常系统。在经典控制领域，主要研究线性定常控制系统。其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即可见，不同类型的系统可以有相同形式的数学模型。系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。而非线

5、性系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近拟相对复杂的系统，实现仿真研究。似的线性化方法。对于非线性方程，在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项，可以得到近似的线性方程。2016年3月18日星期五72016年3月18日星期五83、线性系统微分方程的一般表达式为：4、拉氏变换基本内容回顾nn−1dx0dx0dx0①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，当t<0a+a+...+a+axnnn−1n−110

6、0时，f(t)=0；当t≥0时，f(t)的拉式变换定义为：dtdtdt∞mm−1−stdxdxdxL[f(t)]=F(s)=f(t)edtiii∫=b+b+...+b+bx(n≥m)0mmm−1m−110idtdtdt式中s为复数，s=σ+jw以微分方程为基础来分析控制系统的性能，最直接的方法就一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：是求解微分方程，获得被控量的时间函数曲线x0(t)，然后⑴t<0时，f(t)=0；根据该曲线对系统的性能进行评价。⑵t≥0时，f(t)连续或分段连续；∞−st采用拉氏变换的方法，把微分方程转化为简单的代数方程，⑶。∫f(t)edt<∞0把复杂的微

7、分方程求解及分析过程转变为对代数方程的求解F(s)—象函数，f(t)—原函数。及分析过程，大大方便了应用。记f(t)=L−1[F(s)]为反拉氏变换。2016年3月18日星期五92016年3月18日星期五10例2-3：单位阶跃函数的拉式变换例2-4：单位斜坡函数的拉式变换⎧0,t<0⎧0,t<0单位斜坡函数定义为，f(t)=⎨单位阶跃函数定义为，1(t)=⎨t,t≥0⎩1,t≥0⎩由拉式变换的定义得，由拉式变换的定义得，∞∞e−ste−st−st∞L[f(t)]=t⋅edt=−t⋅

8、−(−)dt∫∫0∞−stsse