自动控制原理 微分方程

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1、§2.1控制系统的微分方程§2.1.1线性系统与非线性系统§2.1.2微分方程的列写§2.1.3系统元件间的负载效应§2.1.4系统非线性微分方程的线性化§2.1.1线性系统与非线性系统对于任意系统，都可以用下方程来描述1、任取系数ai和bj是常数时，系统为线性定常系统。2、任取系数ai和bj是时间t的函数时，系统为线性时变系统。3、任取系数ai和bj是输入量、输出量及它们的导函数，或是时间t的其他函数形式时，系统为非线性系统。叠加原理设有一个物理系统，单独对它施加输入xi1(t)时，输出为x01(t)；单独施加输入为xi2(t)时，输出为x02(t)；同时施加输

2、入axi1(t)和bxi2(t)时，若输出为ax01(t)+bx02(t)，则系统为线性的。线性、非线性这一系统特性并不随系统的表示方法而改变，因为它只是系统本身的固有特性。线性系统与非线性系统的根本区别表现为：线性系统满足叠加原理非线性系统则不满足叠加原理对一个线性系统，一个输入的存在并不影响由另一个输入引起的输出，即对线性系统而言，各个输入产生的输出是互不影响的。因此，在分析多个输入加在系统上而引起的总输出时，可以先分析由单个输入产生的输出，然后把这些输出叠加起来即可。当输入作用在系统不同部位时，系统的输出仍然是各输入所引起的输出的叠加。意义：§2.1.2微分

3、方程的列写例1机械方面:组合机床动力滑台铣平面例2电学方面:无源网络列写微分方程的步骤例1机械方面:组合机床动力滑台铣平面根据牛顿第二定律∑F=ma，得其中，F轴—切削力的轴向分量Fc—阻尼力Fk—弹性恢复力同时进行等量的代换（变量更换）：例2电学方面:无源网络由基尔霍夫定律和欧姆定律对（4）求导列写微分方程的步骤:1、据系统的工作原理明确输入量、输出量。2、将系统划分成若干环节，从输入端开始，根据物理学定律每一个环节列写一个方程。（考虑负载效应）3、将各方程中的中间变量消去，求出描述输入量和输出量之间关系的微分放程。4、将微分方程标准化；将与输入有关的各项放在方

4、程等式右边；与输出有关的各项放在方程等式左边，各阶导数项按降幂排列。标准形式如下:5、在列写元件的微分方程或求出系统的微分方程时，对非线性项应加以线性化。§2.1.3系统元件间的负载效应在列写微分方程时，要考虑相邻元件的负载效应。那么，什么是负载效应?对于由两个物理元件组成的系统而言，若其中一个元件的存在，使另一元件在相同输入下的输出受到影响，则如前者对后者施加了负载。因此，这一影响称为负载效应或称耦合。例1:两个由质量、弹簧串联而成的振动系统。1)当m2,k2不存在即m1,k1是一单自由度系统其动力学方程为：2)将m2,k2接在m1与k1上时，组成图示两自由由度

5、系统。则有：其动力学方程为：3)若不计m2的运动对m1的影响。则有：则动力方程为：例2：有两级串联的RC电路组成的滤波网络1)计R2与C2存在影响R1与C1的输出电流i12)不计R2与C2存在影响R1与C1的输出电流i1若R=R=R、C=C=C，并记RC=T，则所以未计负载效应是错误的§2.1.4系统非线性微分方程的线性化系统通常都有一个预定工作点即系统处于某一平衡位置。对于自动调节系统或随动系统，只要系统的工作状态稍一偏离此平衡位置，整个系统就会立即作出反应，并力图恢复原来的位置。系统各变量偏离预定工作点的偏差一般很小。因此只要作为非线性函数的各变量在预定工作点

6、处有导数或偏导数存在，那么就可以在预定工作点处将系统的着一非线性函数以其自变量的偏差形式展开成泰勒级数。如果此偏差很小，则级数中此偏差的高次项可以忽略只剩下一次项，最后获得此偏差为变量的线性函数。例:单摆系统拉普拉斯变换1.定义：设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。简称拉氏变换f(t)称为F(s)的拉氏逆变换。记为：1/(s+a)tcoswt1/s1(t)sinwt1δ(t)F(s)f(t)F(s)f(t)2.常用函数的拉氏变换：3.拉氏变换的基本性质(1)线性性质原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。则

7、有f(0)为原函数f(t)在t=0时的初始值。若则(2)微分性质推论：(3)积分性质则推论：式中为积分当t=0时的值。若时，则(4)终值定理。(5)初值定理：原函数的终值等于其象函数乘以s的初值