自动控制原理-控制系统的微分方程.ppt

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1、什么是数学模型?所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控制系统定量分析的基础。数学模型的特点1)相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。2)简化性和准确性：忽略次要因素，简化之；准确体现了系统性质。3)静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数4)动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析数学模型的类型1)微分方程：时域其它模型的基础直观求解繁琐2)传递函数：复频域微分方程拉氏变换后的结果3)频率特性：频域分析方法不同，各有所长数学模型的概念列写微分方程式的一般步骤1)分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及

2、内部中间变量，搞清各变量之间的关系。2)忽略一些次要因素，合理简化。3)根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。4)列写中间变量的辅助方程。方程数与变量数相等！5)联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。6)将方程式化成标准形。与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按降阶排列，系数化为有物理意义的形式。系统微分方程的建立三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv例1弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。解：遵照列写微分

3、方程的一般步骤有：（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。（2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。KmfF(t)y(t)机械平移系统举例（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得（6）整理方程得标准形（4）写中间变量与输出量的关系式KmfF(t)y(t)电路系统举例例2电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。RCur(t)uc(t)L解：（1）确

4、定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（4）列写中间变量i与输出变量uc的关系式:（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得RCur(t)uc(t)L（3）由KVL写原始方程：i(t)（6）整理成标准形，令T1=L/R，T2=RC，则方程化为线性微分方程的一般特征观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：（1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；（2）

5、左端的阶次比右端的高,n>=m。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。例1例2令uc=q/C模拟技术：当分析一个机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研究。