《数学建模》(章绍辉 著)参考解答

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1、习题3参考解答4.某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……请你研究这个问题，并向学院领导写一份报告.解答假设整存整取一年定期的年利率保持不变，记为r，假设一到期就支取，取出b元作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……记捐款存入银行之后第k年一年定期到期日奖学金捐款账户余额为xk万元，x0=20万元，则列式得x(1rx)bk,0,1,2,.kk1其解为kxk(1r)x0brbrk

2、,0,1,2,平衡点为xbr.因为r>0，所以如果x0br，即0brx0，xk就会单调增加趋于无穷大，并且增加得越来越快；如果x0br，即brx0，x就会单调衰减（到零为止），并且减少得越来越快；如果kxbr，即brx，x就会保持不变，即xx.00kk0如果取r＝0.025，则b的临界值为rx00.025200.5（万元）.进一步，可编程分别计算当b=0.4、0.5、0.6、1以及2万元时账户总额xk的具体变化过程，并绘图.程序：r=0.025;x=[20,20,20,20,20];b=[.4,.5,.6,1,2];n=20;fork=1:nx(k+1,

3、:)=x(k,:).*(1+r)-b;endplot(0:n,x(:,1),'k.',0:n,x(:,2),'kx',...0:n,x(:,3),'k^',0:n,x(:,4),'ks',0:n,x(:,5),'kp')axis([-1,n+1,0,25])legend('每年用0.4万元','每年用0.5万元',...'每年用0.6万元','每年用1万元','每年用2万元',3)title('奖学金捐款账户余额的演变，年利率2.5%')xlabel('第k年'),ylabel('账户余额（万元）')绘得的图形：奖学金捐款账户余额的演变，年利率2.5%25201510账户余额（万元）每

4、年用0.4万元5每年用0.5万元每年用0.6万元每年用1万元每年用2万元002468101214161820第k年（略去给学院领导的报告，该报告要用非数学语言陈述上述分析）5.有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取方式（指本金一次存入，分次支取本金的一种储蓄）存入，从第一个月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金.请你计算老人多少岁时将把养老金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？解答假设月利率保持不变，记为r，记养老金存入银行之后第k月末账户总额为xk元，从第一个月开始每月支取b元.则列式得x(1rx)bk,0,

5、1,2,.kk1解得kxk(1r)x0brbrk,0,1,2,依题意有r=0.003，b=1000，x0=100000.因为r>0，且x0br，所以xk就会单调衰减（到零为止），并且减少得越来越快；若要x0，可以解得只需要klogbrlogbrx0klog1r所以令Klogbrlogbrx0log1r（上取整），则养老金在第K个月恰好用完.把具体数据代入，执行以下程序，算得K=120，即10万养老金恰好10年用：x=100000;r=0.003;b=1000;K=ceil((log(b/r)-log(b

6、/r-x))/log(1+r))也可以用条件循环语句按差分方程迭代计算，直到xk0停止.程序如下：x=100000;r=0.003;b=1000;n=0;whilex(n+1)>0n=n+1;x(n+1)=(1+r).*x(n)-b;endn如果养老金想用到80岁，即x240=0，那么240br11x1709080240.rr1