11 第12讲用函数极限定义证题

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1、高等数学典型例题与解法（一）第12讲用函数极限定义证题理学院周敏教授主要内容内容提要典型例题解析1.自变量变化过程为无穷的情形lim()=是指：∀>0,∃>0，当

2、

3、>时，恒有

4、()−

5、<.→lim()=是指：∀>0,∃>0，当>时，恒有

6、()−

7、<.→lim()=是指：∀>0,∃>0，当<−时，恒有

8、()−

9、<.→●xxx2.自变量变化过程为有限的情形lim()=是指：∀>0,∃>0，当0<

10、−

11、<时，恒有

12、()−

13、<.→lim

14、()=是指：∀>0,∃>0，当0<−<时，恒有

15、()−

16、<.→lim()=是指：∀>0,∃>0，当−<−<0时，恒有

17、()−

18、<.→xx0xx0●●xx0−4例12.1试用函数极限定义证明lim=−4.→+2−4【分析】根据函数极限定义，尽管函数()=在=−2处没有+2定义，仍可以考虑它在该点的极限.对于任意给定的正数，要使−4−−4=

19、(−2)+4

20、=

21、−(−2)

22、<,+2只需<

23、−(−)

24、<即可.−4例12.1试用函数极限定义证明l

25、im=−4.→+2【证】∀>0，取=>0，则当0<

26、−(−2)

27、<时，恒有−4−−4=

28、+2

29、<=+2−4所以，由定义知lim=−4.→+2例12.2试用函数极限定义证明lim=4.→【分析】对于任意给定的正数，要使

30、−4

31、=

32、+2

33、

34、−2

35、<.假设先限定0<

36、−2

37、<1,则有

38、+2

39、=

40、−2+4

41、≤

42、−2

43、+4<5,

44、−4

45、=

46、+2

47、

48、−2

49、<5

50、−2

51、<,只需此时要使0<−2<.5例12.2试用函数极限定义证明lim=4.→【证】∀>0，取=min1,>0,

52、则当0<

53、−2

54、<时，恒有5

55、−4

56、=

57、+2

58、

59、−2

60、<5

61、−2

62、<.所以，由定义知lim=4.→−−23例12.3试用函数极限定义证明lim=.→−3+22【分析】对于任意给定的正数，考虑−−23−2)(+13+13−3+2−2=−=−(−2)(−1)2(−1)23+1=⋅

63、−2

64、<2(−1)15不妨先限定,

65、−2

66、<3⋅2+1172<=<6313352⋅⋅<<2222−−23例12.3试用函数极限定义证明lim=.→−3+221【证】∀>0，

67、取=min,>0,则当0<

68、−2

69、<时，恒有26−−23+133+1−=−=⋅

70、−2

71、−3+22(−1)22(−1)<6

72、−2

73、<.−−23所以，由定义知lim=.→−3+22【思考】如果先限定=2的某个邻域为

74、−2

75、<1，行不行?6+5例12.4试用函数极限定义证明lim=6.→6+555【证】∀>0，要使−6=<.只需>.

76、

77、5取=>0,则当>时，恒有6+555−6=<=.

78、

79、6+5所以，由定义知lim=6.→例12.5若lim()=

80、(

81、

82、<+∞)，用−语言证明lim()=．→→【分析】∀>0,考虑要使−()−=<.()+()⋅+133()++≥244因此分=和≠两种情形证明.例12.5若lim()=(

83、

84、<+∞)，用−语言证明lim()=．→→【证】先考虑=的情形.∀>0,由lim()=0可知存在>0,当−<<时，有→()<，因此()<.从而lim()=0=.→例12.5若lim

85、()=(

86、

87、<+∞)，用−语言证明lim()=．→→【证】再考虑≠的情形.∀>0,考虑要使−()−=<.()+()⋅+注意到133()+()⋅+=()++≥>0,2443而由lim=0知存在>0,当−<<时有−<.→43因此

88、()−

89、4()−≤<=.3344例12.6以下三个说法：(1)“∀>0,∃>0,当0<

90、−

91、<时，恒有

92、()−

93、

94、<”是“lim()=”的充