函数的一般概念

《函数的一般概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§1.3函数的一般概念映射函数的概念几个特殊的函数举例函数的性质一、映射定义1：设X与Y是两个非空集合，若对X中的每一个元素x，均可找到Y中唯一确定的元素y与之对应，则称这个对应是集合X到集合Y的一个映射，记为f，或者更详细地写将x的对应元y记作1.映射的概念并称y为映射f下x的像，而x称为映射f下y的原像(或称为逆像).集合X称为映射f的定义域，记作，而X的所有元素的像f(x)的集合称为映射f的值域，记为概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素：有唯一确定的y=f(x)与之对应.需要指出

2、的是：（1）映射要求元素的像必须是唯一的.（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.定义2：设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆像也是唯一的，即对X中的任意两个不同元素x1≠x2，它们的像y1与y2也满足y1≠y2，则称f为单射；如果映射f满足Rf=Y，则称f为满射；如果映射f既是单射，又是满射，则称f为双射（又称一一对应）.2一一对应3.逆映射逆映射：如果映射f既是单射，又是满射，则逆映射，4.复合映射：那就可以构造出一个和新的对应关系复合映射.二函数概念函数是整个高等数学中最基本的研究对象

3、,可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.例圆内接正多边形的周长圆内接正n边形Or)因变量自变量D称为定义域，记作Df，即Df=D.函数值的全体构成的数集称为值域，记为：对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).用图形

4、法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的函数的表示法单值函数与多值函数在函数的定义中,对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:下页此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支此函数称为绝对值函数,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=[0,+).(2)(1)常值函数y=c.

5、其定义域为D=(-,+),其值域为Rf={c}.下页三　几个特殊的函数举例(3)符号函数其定义域为D=(-,+),其值域为Rf={-1,0,1}.(4)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数阶梯曲线其定义域为D=(-,+),其值域为=Z.（5）“非负小数部分”函数它的定义域是有理数点无理数点•1xyo(6)狄利克雷函数其定义域为D=(-,+),其值域为={0,1}.(7)取最值函数yxoxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.分段函数例

6、1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压例2解故三、函数的性质M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:四、函数的性质f(x)=sinx在(-,+)上是有界的:

7、sinx

8、1.所以函数无上界.下页有界函数举例例32．函数的单调性:xyoxyo3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x奇函数yxox-x4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最

9、小正周期）.