高二数学（理）利用导数求单调区间、极值人教实验版（A）知识精讲

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1、高二数学（理）利用导数求单调区间、极值人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：利用导数求单调区间、极值二.重点、难点：1.在某区间（）内，若>0那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增，若，那么函数在这个区间内单调递减。2.，在，则称为的极大值。3.，在，则称为的极小值。4.极值是一个局部性质5.时，是为极值的既不充分也不必要条件。【典型例题】[例1]求下列函数单调区间（1）解：∴∴（2）∴∴（3）定义域为∴（4）用心爱心专心解：∴[例2]求满足条件的的取值范围。（1）为R上的增函数解：∴时，也成立∴（2）为R上增函数成立成立

2、∴（3）为R上增函数∴[例3]证明下面各不等式（1）证：①令∴在∴任取即：②令∴在（0，+）上↑∴任取即用心爱心专心（2）令∴∴[例4]求下列函数的极值。（1）解：x=1（－，0）0（0，1）1（1，+）+－0+↑↓↑∴（2）（－，0）0（0，）（，1）1（1，+）+0－0+0+↑↓↑↑∴（3）（－，）（，）（，1）1（1，+）－0++0+↓↑↑↑∴（4）解：用心爱心专心∴[例5]在x=1处取得极值10，求。解：∴或（舍）∴[例6]曲线，过P（1，1）在原点取得极小值。求此函数的极大值的最小值。解：由已知∴∴令∴（－，－2）－2（－

3、2，0）－0+↓∴[例7]已知在区间[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围。解：∵在[－1，1]上是增函数∴对恒成立，即对恒成立设，则解得用心爱心专心[例8]设是R上的偶函数，（1）求的值；（2）证明在（0，+）上是增函数。解：（1）依题意，对一切，有，即即，所以对一切恒成立由于不恒为0，所以，即，又因为，所以（2）证明：由，得当时，有，此时，所以在（0，+）内是增函数[例9]已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，）处的切线方程，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。解：（1）由的图象经过P（0，2），知，所以，

4、由在点M（）处的切线方程为∴即∴解得故所求的解析式是（2）令，解得当或时，当时，故在内是增函数，在内是减函数在内是增函数[例10]已知函数是R上的奇函数，当时，用心爱心专心取得极值－2。（1）求的单调区间和极大值。（2）证明对任意，不等式恒成立。解：（1）由奇函数定义，应有，即∴因此由条件为的极值，必有，故，解得因此，当时，，故在单调区间上是增函数当时，，故在单调区间（－1，1）上是减函数当时，，故在单调区间（1，）上是增函数所以在处取得极大值，极大值为（2）解：由（1）知，是减函数，且在[－1，1]上的最大值在[－1，1]上的最小

5、值所以对任意，恒有【模拟试题】1.两曲线与相切于点（1，－1）处，则值分别为（）A.0，2B.1，－3C.－1，1D.－1，－12.设函数，则（）A.在（－，+）单调增加B.在（－，+）单调减少C.在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加D.在（－1，1）单调增加，其余区间单调减少3.当时，有不等式（）A.B.用心爱心专心C.当时，，当时，D.当时，，当时，4.若连续函数在闭区间上有惟一的极大值和极小值，则（）A.极大值一定是最大值，极小值一定是最小值B.极大值必大于极小值C.极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值D.极大值不一定

6、是最大值，极小值也不一定是最小值5.设在可导，则等于（）A.B.C.D.6.下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.7.函数有极值的充要条件是（）A.B.C.D.8.设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.9.设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求的值；（2）求函数的递减区间。10.是否存在这样的k值，使函数在（1，2）上递减，在（2，－）上递增。用心爱心专心11.设函数（1）若导数；并证明有两个不同的极值点；（2）若不等式成立，求的取值范围。12.已知过函

7、数的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。（1）求的值；（2）求A的取值范围，使不等式对于恒成立。令=，是否存在一个实数，使得当时，有最大值1？用心爱心专心【试题答案】1.D2.C3.B4.D5.D6.D7.C8.D9.解析：（1）函数的图象经过（0，0）点∴，又图象与x轴相切于（0，0）点，∴，得∴，当时，，当时，当时，函数有极小值－4∴，得（2），解得∴递减区间是（0，2）10.解析：，由题意，当时，当时，由函数的连续性可知即得或验证：当时，若，，若，符合题意当时，显然不合题意，综上所述，存在，满足题意11.解：（1）令得方

8、程因，故方程有两个不同实根不妨设，由可判断的符号如下：当时，；当时，；当时，因此是极大值点，是极小值点（2）因，故得不等式用心爱心专心即又由（1）知代入前面不等式，两边除以，并化简得解不等式得或（舍去）因此，当时，不等式0成立12.解