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1、单调区间讨论例．设，求函数的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.解：.当时.（i）当时，对所有，有.即，此时在内单调递增.（ii）当时，对，有，即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增（iii）当时，令，即.解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间内单调递减.（2009安徽卷理）已知函数，讨论的单调性.①当，即时，方程有两个不同的实根,,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.3.设函数在处取得极
2、值，且曲线在点处的切线垂直于直线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．（3）方程有两个不相等实根w.w.w.k.s.5.u.c当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数(2009山东卷文)已知函数,其中（1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.所以当时,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当时,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x1,x2处分别取
3、得极大值和极小值.综上,当满足时,取得极值.(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立,所以设,,令得或(舍去),当时,,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时,;当时,【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.（2009浙江文）已知函数．（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线
4、斜率是，求的值；（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．解析（Ⅰ）由题意得又，解得，或（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有，即：整理得：，解得
