利用导数判断或求函数的单调区间

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1、考点39利用导数判断或求函数的单调区间1.(13天津20)(本小题满分14分)设2,0],己知函数/(x)=3X兀”0,x>0.(I)证明.f(兀)在区间(-1,1)内单调递减，在区间(l,+oo)内单调递增；(II)设曲线y=/(x)在点^(xf.,/U))(/=l,2,3)处的切线相互平行,且召兀2兀H0，证明1X

2、+X。+兀>—亍.【测量目标】利用导数判断函数单调区间，利用导数解决不等式问题..【考查方式】给定直线与函数的位置关系，利用导数研究甫数的单调性，通过定义域判断值域，由基本不等式判断最小值等知识.

3、【试题解析】证明：(1)设函数/(x)=x3-(df+5)x(x„0),/2(x)=%3ax(兀…0),①//(兀)=3兀2—(a+5),rtl[—2,0],从而当一IV兀,,0时,=3x2—(a+5)<3—a—5„0,所以函数川兀)在区间(-1,0]内单调递减.(步骤1)②//(x)=3F—(g+3)兀+g=(3lg)(x—1),由于aw[-2,0],所以当0Vx]时,f2x)>0.即函数乙(兀)在区I'可(0,1]内单调递减，在区I'可(l,+oo)内单调递增.(步骤2)综合⑪②及

4、fl(O)=f2(O)f可知函数/(兀)在区间(-1,1)内单调递减，在区间(1,+8)内单调递增.(步骤3)/丄2、⑵由⑴知广(X)在区间(-00,0)内单调递减，在区间0,-—内单调递减，在区间k6丿I,+oo内单调递增.(步骤1)/产譽（步骤4）设/=32因为^€[-2,0],所以/wV3V15,（步骤4）因为曲线y=f（x）在点£（引/（^.））（/=1,2,3）处的切线相互平行，从而引X2,无互不相等，且广（召）=广（兀2）=广（禺）・（步骤2）不妨设兀］＜0＜禺＜兀3，由3^2~（6z+5）-3^22

5、_（6f+3）x9+a=3x^a,解得3x22-3x32-（a+3）（x,-x3）=0x2+x3=,从而0＜无＜纟三＜无.（步骤3）-3-6设g（x）=3x2~（a+3）x+a,则g纟空］＜＜?（兀2）＜g（O）=d.Eh3%j2-(a+5)=g(x2)

6、（兀）的零点个数，并证明你的结论.【测量目标】利用导数求函数的单调性、最值、零点.•【考查方式】将减函数转化为导函数为负数，函数在定义域上有最小值转化为导函数的零点來求解函数中的未知数；由导函数恒正得出未知数的范围，再进行分类讨论，來研究函数的零占X八、、♦【试题解析】解：（1）令广（兀）=丄—0=上竺＜0,（步骤1）XX考虑到/⑴的定义域为（0,4-00）,故d＞0,进而解得B

7、Jf（x）在@T,+oo）上是单调减函数.同理，/（兀）在（0,矿】）上是单调增函数.（步骤2）由于/（兀）在（l,+oo）上是单调减

8、函数，故（l,+oo）U（G“,+oo）,从而1，即6Z...1.（步骤3）令g'（x）=e'-q=0,得兀=lna.当xa时，g‘（兀）>0.又g（x）在（1,+x）上有最小值，所以intz>1,即a>e.综上所述两种情况，得dw（e,+oo）.（步骤4）（2）当d,,0时，g（x）必为单调增函数；当。〉0时，令gx）=cx-a>0,解得aa.（步骤1）因为g（x）在（一1,+8）上是单调增函数,类似（1）有Ina,,-1,即0V。,,e结合上述两种情况

9、，得a,,e-1.（步骤2）①当a=0时，rtl/（l）=0以及f（x）=->0,得/⑴存在唯一的零点；（步骤3）②当avO时,由于f（ea）=a-aea=a（l-ea）<0,/（I）=-a>0,且函数/（对在［el］上的图象连续，所以/（X）在（el）±存在零点.（步骤4）另外，当尢〉0时，fx）=--a>0,故/（劝在（0,+oo）上是单调增函数，所以/（力只有一个零点.（步骤5）③当0解得x—ax；当00；当x>a~'时，fx）<

10、0,所以x=a~l是/（兀）的最大值点，且最大值为=（步骤6）u.当一a-l=0,即a=c~］时，/（兀）有一个零点x=e.（步骤7）b.当一lnt/-l>0,即0vave"吋，/（x）有两个零点.实际上，对于0vave",由于/（e-,）=-l-«e-1<0,/（肝）>0,且函数/（X）在［「,/］上的图象连续,所以念）在（「,/）上存在零点.另外，当兀€（0,戶）