利用导数判断函数的单调区间.doc

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1、利用导数判断函数的单调区间运用导数判定函数单调性的方法：若，则函数在区间上单调增加；若，则函数在区间上单调减小．确定函数单调区间的方法：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）令，求出区间内的全部实根，并按照从小到大的顺序排列为：，，……，；（4）确定区间，……内导数的符号；（5）在某区间内，若，则函数在该区间内递增；若，则函数在该区间内递减．１．看图说话　例１　已知函数的图象如图1所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中图象大致为（）．　　解析：由图1知，当时，，∴，为增函数，表现在图象上是上升的．当时，．∴，为减函数，表现在图象上为下降的．当时，，∴，为减函数，表现在图象

2、上为下降的．当时，，∴，为增函数，表现在图象上为上升的．由以上分析知，（C）符合．点评：函数的单调性和导函数之间的联系密切，实际上曲线的切线的斜率就是函数的导数，当切线的斜率为正，即时，为增函数，同样当切线的斜率为负，即时，为减函数，做此类题时需要对导数含义深刻理解．2．求单调区间　　例２　设，求函数，的单调区间．解：，当，时，，，（1）当时，对任意都有，此时在上单调递增．（2）当时，对，有，此时在上单调递增，在内单调递增，又函数在处连续，因此，在内单调递增．（3）当时，令，得或，令得．因此，在上单调递增，在上单调递增；在上单调递减．点评：在利用求导的方法确定函数的单调区间时，首先

3、要注意函数的定义域，当然本题已经告知了自变量的取值范围，然后再来求导判断符号．３．判断单调性　例３　证明函数在上是减函数．证明：，当时，，，即，函数在上是减函数．点评：该题也可以用定义法证明函数的单调性，但是导数法要比定义法简单得多．4、逆向问题例４　若函数在区间内为减函数，在区间内为增函数，求实数的取值范围．解：由，得到1，，而函数的定义域是，先求出函数的增减区间．（1）当，即，时，，把分为三个区间，，．当时，；当时，，当时，．故当时，在和内为增函数，在内为减函数，而由题意，的增区间为，减区间为，显然不是和的子区间，也不是的子区间，故不符合题意．（2）当，即时，把区间分为和。对这

4、两个区间，均有，即在和上均为增函数，显然与题意不符合．（3）当，即时，，把分为3个区间：，，．当时，；当时，；当时，．故当时，的增区间是和，的减区间是，而由已知的的增区间是，减区间是，则，，即，解得，又，则所求的取值范围．点评：该题知道了函数的单调区间，来求含有字母系数的取值范围，关键是理清函数的导数与函数单调性的关系．新教材引入导数这一工具，使很多问题变得好懂易学，当然求导的方法也必须和以前学习的各种方法来紧密结合，才能真正体现数学解法的整体美．