高二数学 复合函数的导数（文） 人教实验B版

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1、高二数学复合函数的导数（文）人教实验B版【本讲教育信息】一.教学内容：复合函数的导数［主要内容］复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数［学习目标］了解复合函数的概念，会分解复合函数或合成复合函数；理解复合函数的求导法则，并会求导，正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确。掌握对数函数，指数函数的求导法则。［考点分析］1、复合函数的概念对于函数，令，若是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则称函数是自变量x的复合函数。2、复合函数的导数：首先要弄清复合函数的复合关系。它的求导法则是：复合函数对自变量的导数

2、，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即·或注：复合函数求导的基本步骤：分解——求导——相乘——回代。3、复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。4、对数函数的导数（1）（2）5、指数函数的导数（1）（2）【典型例题】例1、指出下列函数的复合关系（1）；（2）；（3）；（4）。分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构。解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次。一般是以最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解

3、成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程。解答：函数的复合关系分别是10（1）；（2）；（3）；（4）。例2、求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）例3、求下列函数的导数。（其中是可导函数）（1）；（2）。分析：对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。先设出中间变量，再根据复合函数的导数运算法则进行求导运算。一般地，假设中间变量可以直接对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直接求导，就不必再

4、选中间变量。解：（1）解法一：设，则10解法二：（2）解法一：设，则解法二：例4、求y＝（0＜A＜【解法一】y＝（0＜A＜∴y＝＝sin（）＋cos（）＝2[sin（）＋cos（）]＝2sin（）＝2cosy′＝(2cos)′＝－sin【解法二】y′＝()′＋()′＝(1－sinA)(－cosA)＋(1＋sinA)cosA10＝∵A∈（0，）＝[（cos－sin）－（cos＋sin）]＝－sin【解法三】∵0＜A＜y＝＋＝（cos－sin）＋（cos＋sin）＝2cosy′＝－sin【点评】解法一和解法三都是先化简，但

5、难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键。解法二是从和的导数求导数入手，后面的化简较繁。例5、求y＝sin4x＋cos4x的导数。【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－sin22x＝1－（1－cos4x）＝＋cos4xy′＝－sin4x【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x

6、＝－sin4x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确。解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步。例6、曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程。解：∴曲线在（0，1）处的切线的斜率∴切线方程为10设的方程为∴∴或6当时，为：当时，为：【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.函数的导数是（）A.B.C.D.2.已知，则等于（）A.B.2C.D.03.函数的导数是（）A.B.C.D.4.在处的切线方程是（）A.B.C.D.5.若，则等于（）A.5B.2

7、0C.40D.06.已知某函数的导数是，则这个函数可能是（）A.B.C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7.已知，则等于________________。8.函数的导数等于________________。9.若，则___________。10.函数，且，则实数的值为__________。三、解答题（本大题共4题，共50分）11.指出下列函数是怎样复合而成的。（1）；10（2）；（3）；（4）。12.求下列函数的导数（1）；（2）；（3）。13.已知曲线C1：与C2：，直线与C1、C2都相切，求直线

8、的方程。14.在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？10【试题答案】1.D2.D解析：∴3.C解析：4