福建省长泰一中高考数学一轮复习《三角函数的图象与性质》学案

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1、福建省长泰一中高考数学一轮复习《三角函数的图象与性质》学案基础过关1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．“五点法”作图实质上是选取函数的一个，将其四等分，分别找到图象的点，点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状．2．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象．函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象注：⑴正弦函数的对称中心为，对称轴为．⑵余弦函数的对称中心为，对称轴为．⑶正切函数的对称中心为．由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋)的图象主要有下列两种方法：y＝sinx相位变

2、换周期变换振幅变换y＝sinx周期变换相位变换振幅变换或说明：前一种方法第一步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移个单位．例1.已知函数y＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)⑴若A＝3，ω＝，＝－，作出函数在一个周期内的简图．6用心爱心专心⑵若y表示一个振动量，其振动频率是，当x＝时，相位是，求ω和．321-1-2-3xy0解：(1)y＝3sin()列表(略)图象如下：0π2πxy030－30(2)依题意有：∴变式训练1：已知函数y=

3、2sin,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.解（1）y=2sin的振幅A=2,周期T==，初相=.（2）令X=2x+,则y=2sin=2sinX.列表，并描点画出图象：x-X02y=sinX010-10y=2sin(2x+)020-20（3）方法一把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin6用心爱心专心的图象，再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得

4、到y=sin的图象，最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin的图象.方法二将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位；得到y=sin2=sin的图象；再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin的图象.例2已知函数y=3sin（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的

5、振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解（1）列表：x023sin030-30描点、连线,如图所示：（2）方法一“先平移，后伸缩”.先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin的图象；再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.方法二“先伸缩，后平移”先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y

6、=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位，6用心爱心专心得到y=sin(x-)=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.（3）周期T===4，振幅A=3，初相是-.(4)令=+k(k∈Z),得x=2k+(k∈Z),此为对称轴方程.令x-=k(k∈Z)得x=+2k(k∈Z).对称中心为(k∈Z).变式训练2：已知函数的最小正周期为π且图象关于对称；(1)求f(x)的解析式；(2)若函数y＝1－f(x)的图象与直线y

7、＝a在上中有一个交点，求实数a的范围．解：（1）∵w∈R当w＝1时，此时不是它的对称轴∴w＝－1（2）0－yx如图：∵直线y＝a在上与y＝1－f(x)图象只有一个交点∴或a＝16用心爱心专心例3．如图为y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式.解方法一以N为第一个零点，则A=-，T=2=，∴=2，此时解析式为y=-sin（2x+）.∵点N，∴-×2+=0，∴=，所求解析式为y=-sin.①方法二由图象知A=，以M为第一个零点，P为第二个零点.列方程组解之得.∴所求解析式为y=sin.②变式训练3：函

8、数y=Asin(x+)(＞0,

9、

10、＜,x∈R)的部分图象如图，则函数表达式为()A.y=-4sinB.y=-4sinC.y=4sinD.y=4sin答案B例4．设关于x的方程cos2x＋sin2x＝k＋1在[0，]内有两不同根α，β，求α＋β的值及k的取值范围．解：由cos2x＋sin2x＝k＋1得2sin(2x＋)＝k＋1即sin(2x＋)＝设c:y＝sin(2x＋)，l:y＝，在同一坐标系中作出它们的图象(略)由图易知当＜1时,即0≤k