福建省长泰一中高考数学一轮复习《三角函数的性质》学案

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1、福建省长泰一中高考数学一轮复习《三角函数的性质》学案基础过关1．三角函数的性质2．函数y＝sinx的对称性与周期性的关系．⑴若相邻两条对称轴为x＝a和x＝b，则T＝．⑵若相邻两对称点(a，0)和(b，0)，则T＝．⑶若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴x＝b，则T＝．注：该结论可以推广到其它任一函数．典型例题∴2sin(m＋)cos(m＋)＝∴sin(m＋)＝0或cos(m＋)＝±当sin(m＋)＝0时，m＝k－(k≠z)，这与0＜m＜1矛盾．当cos(m＋)＝±时，m＝k＋或m＝k－(k∈z)，现由0＜m＜1时得m＝6用心爱心专心故a＝＝∴(2)当f(

2、x)取最大值时，sin(2x－)＝1有2x－＝2k＋即x＝k＋(k∈z)故所求x的集合为例2已知函数f(x)＝⑴求f(x)的定义域．⑵用定义判断f(x)的奇偶性．⑶在[－π，π]上作出函数f(x)的图象．⑷指出f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)由1＋cos2x＞0得2cos2x＞0∴cosx≠0即x≠kπ＋，(k∈z)∴函数f(x)的定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈z｜}(2)∵定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x，f(－x)＝∴f(x)为奇函数.xy0π-π(3)f(x)＝又x∈[－π，π]6用心爱心专心且x≠－∴f(x)＝f(x)的图象如右：(

3、4)由图知，f(x)的最小正周期为2π．f(x)的单调递增区间是()(k∈z)变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=lgsin(cosx);（2）y=.解（1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0.∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.方法一利用余弦函数的简图得知定义域为{x

4、-+2k＜x＜+2k,k∈Z}.方法二利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1,∴OM只能在x轴的正半轴上，∴其定义域为.（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.方法一利用图象.在同一坐标系中画出［0,2］上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.在［

5、0，2］内，满足sinx=cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为.方法二利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx≥cosx,即MN≥OM，则≤x≤（在［0，2］内）.∴定义域为.6用心爱心专心方法三sinx-cosx=sin≥0，将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2k≤x-≤+2k,解得2k+≤x≤+2k,k∈Z.所以定义域为.例3设函数，，已知f(x)、g(x)的最小正周期相同，且2(g)＝f(1)；（1）试确定f(x)、g(x)的解的式；（2）求函数f(x)的单调递增区间．解：(1)当a＝1

6、时，f(x)＝2cos2＋sinx＋b＝∴递增区间为[2kπ－](k∈z)(2)∵f(x)＝a(sinx＋cosx)＋a＋b＝而x∈[0，π]，x＋∈[]∴sin(x＋)∈[]∴∴变式训练3：已知函数f(x)＝(sinx－cosx)⑴求它的定义域和值域；⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性；⑷判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．解：(1)由题意得：sinx－cosx＞0即sin(x－)＞０从而得2kπ＋＜x＜2kπ＋π函数的定义域为()(k∈z)∵0＜sin(x－)≤1∴0＜sinx－cosx≤6用心爱心专心即(sinx－cosx)≥＝－故函数f(

7、x)的值域为[－，＋∞](2)∵sinx－cosx＝sin(x－)在f(x)的定义域上的单调递增区间为()(k∈z)，单调递减区间为[](k∈z)(3)∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称．∴f(x)是非奇非偶函数．(4)∵f(x＋2π)＝[sin(x＋2π)－cos(x＋2π)]＝(sinx－cosx)＝f(x)∴f(x)函数的最小正周期T＝2π例4.已知函数y＝acosx＋b的最大值为1，最小值是－3，试确定＝bsin(ax＋)的单调区间．解：(1)若a＞0，则a＋b＝1，－a＋b＝－3，∴a＝2，b＝－1，此时，＝－sin(2x＋)单调增区间为

8、[kπ＋，kπ＋](k∈z)单调减区间为[kπ－，kπ＋](k∈z)(2)若a＜0，则－a＋b＝1，a＋b＝－3，∴a＝－2，b＝－1，单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈z)单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈z)变式训练4：某港口水的深度y（米）是时间t(0≤t<24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：t（时）036912y（米）10139.9710t（时）15182124y（米）1310.1710经过长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωx＋b的图象．（1）试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；（2

9、）一般情况下，船底离海底