福建省长泰一中高考数学一轮复习《球》学案.doc

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1、福建省长泰一中高考数学一轮复习《球》学案基础过关典型例题例1.如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为，点A与B、C两点的球面距离都为，O为球心，求：(1)的大小；(2)球心O到截面ABC的距离．3用心爱心专心解：设球心为O，由已知，易得∠AOB＝∠AOC＝，∠BOC＝，过O作OD⊥BC于D，连AD，再过O作OE⊥AD于E，则OE⊥平面ABC于E，∴OE＝.在Rt△AOD中，由AD·OE＝AO·ODOA＝R＝1.∴V球＝πR3＝π．例2.如图，四棱锥A－BCDE中，，且AC⊥BC，AE⊥BE．(1)求证：A、B、C、D

2、、E五点都在以AB为直径的同一球面上；(2)若求B、D两点间的球面距离．解：(1)因为AD⊥底面BCDE，所以AD⊥BC，AD⊥BE，又因为AC⊥BC，AE⊥BE，所以BC⊥CD，BE⊥ED．故B、C、D、E四点共圆，BD为此圆的直径．取BD的中点M，AB的中点N，连接BD、AB的中点MN，则MN∥AD，所以MN⊥底面BCDE，即N的射影是圆的圆心M，有AM＝BM＝CM＝DM＝EM，故五点共球且直径为AB．(2)若∠CBE＝90°，则底面四边形BCDE是一个矩形，连接DN，因为：所以B、D两点间的球面距离是.变式训练2：过半径为R的球面上一点M

3、作三条两两互相垂直的弦MA、MB、MC．(1)求证：MA2＋MB2＋MC2为定值；(2)求△MAB，△MAC，△MBC面积之和的最大值．解：(1)易求得MA2＋MB2＋MC2＝4R2！(2)S△MAB＋S△MAC＋S△MBC＝(MA·MB＋MA·MC＋MB·MC)≤(MA2＋MB2＋MC2)＝2R2(当且仅当MA＝MB＝MC时取最大值).例3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面（如图），则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）A．B．C．D．3用心爱心专心解：设正四面体为正四面体ABCD，分析截面图可知，截面

4、经过正四面体的一条棱设为CD，又过球心，设截面与棱AB交于E点，则E为AB的中点，易求得截面三角形的面积为，故选（C）．变式训练3：已知三棱锥P－ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.(1)证明：PC⊥平面PAB；(2)求二面角P－AB－C的平面角的余弦值；(3)若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长.解(1)连结CF，∵PE＝EF＝BC＝AC∴AP⊥PC∵CF⊥AB,PF⊥AB,∴AB⊥平面PCF∵AC平面PCF∴PC⊥AB∴PC⊥平面PAB.(2)∵AB⊥PF,AB⊥C

5、F∴∠PFC为所求二面角的平面角设AB＝a,则PF＝EF＝,CF＝,∴cos∠PFC＝.(3)设PA＝x,球半径为R∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB∵4πR2＝12π,∴R＝,知△ABC的外接圆为球之小圆，由x2＝x·2R.得△ABC的边长为2.小结归纳1．因为“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比．2．球的轴截面是大圆，它含有球的全部元素，所以有关球的计算，可作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题．3．球心与小圆圆心的连线，垂直于小圆所在的平面，球的内部结构的计算也由此展开．4．计算球面上A、B两点的球

6、面距离是一个难点，其关键是利用“AB既是小圆的弦，又是大圆的弦”这一事实，其一般步骤是：(1)根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R，以及所对小圆圆心角；(2)在小圆中，由r和圆心角求出AB；(3)在大圆中，由AB和R求出大圆的圆心角；(4)由圆心角和R，求出大圆弧长AB(即球面上A、B两点的距离)．3用心爱心专心