福建省长泰一中高考数学一轮复习《圆的方程》学案.doc

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1、第5课时圆的方程基础过关例1.根据下列条件，求圆的方程．(1)经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．(2)经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．解：(1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0由解得∴圆心为C(7，－3)，半径r＝故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0将P、Q两点坐标代入得令y＝0得x2＋Dx＋F＝0由弦长

2、x1－x2

3、＝6得D2－4F＝36③解①②③可得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y

4、－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0变式训练1：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程．由A（2，－3），B（－2，－5），得直线AB的斜率为kAB==,线段AB的中点为（0，－4），线段AB的中垂线方程为y＋4=－2x,即y＋2x＋4=0,解方程组得∴圆心为（－1，－2），根据两点间的距离公式，得半径r==所求圆的方程为（x＋1)2＋(y＋2)2=10例2.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解方法一将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,

5、5用心爱心专心得5y2-20y+12+m=0.设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为,半径r=.方法二如图所示，设弦PQ中点为M，∵O1M⊥PQ，∴.∴O1M的方程为:y-3=2,即：y=2x+4.由方程组解得M的坐标为（-1，2）.则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.∴（0+1）2+（0-2）2=r

6、2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.∴(3-2)2+5=∴-+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.∴圆心为，半径为.变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.5用心爱心专心（1）证明直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2

7、+（1-2）2=5＜25,∴点（3，1）在圆内部，∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.（2）解从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长

8、AB

9、最短，由垂径定理得

10、AB

11、=2=此时，kt=-,从而kt=-=2.∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3.知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解（1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为d=.∴P点到直线3x+4y+12

12、=0的距离的最大值为d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.（2）设t=x-2y,则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.∴≤1.∴--2≤t≤-2，∴tmax=-2，tmin=-2-.（3）设k=，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，∴≤1.∴≤k≤,∴kmax=，kmin=.变式训练3：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解5用心爱心专心（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，

13、此时，解得b=-2±.所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.例4.设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心