0506微积分BII（A）答案试卷_1285_1626_20110519154958

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1、2005-2006学年第二学期〈微积分(B)II〉期末考试试卷(A)答案一、简答题（每小题5分,共55分）判分标准：（1）答案正确时，一般不扣分，除非有明显的作弊倾向。（2）答案不正确时，可按步骤给分。1．解：评分：（+1分）；一个“（）”+2分2．设z=f(x,y)为二元函数.在下图所示的方框中,用将f(x,y)在(x,y)处的连续性,可微性等关系表示出来.解：评分：缺一个或多一个箭头扣一分。不给负分。3．设,其中f具有二阶连续的偏导数,求解：4．求曲面处的切平面方程.第10页共10页解；所求；评分：6，-1，-3，一个数

2、一分，法向量有错最多2分。5．求函数的方向导数.解：评分：对应以上各等号分别给到1、2、4、5分。6．交换二次积分的积分次序.解：评分：对一个2分,对两个4分.只有正确图1分.用减法扣1分(因为f会无定义)7．解1:用对称和曲面代入解2:评分:解1;解2各等号给到2、2、5；2、4、5分。8．填空题.当常数a,p满足条件时,级数条件收敛.第10页共10页当常数a,p满足条件时,级数绝对收敛.评分：第一空2分，只有a=-1，0

3、(1)(2)评分:(1)3分.各箭头前给到1、2、3分。（2）2分。有x[]即k=1给1分.10．设的和函数为S(x)(其中解:因为S奇且评分:“所以”后各等号给到1、3、5、5分11．已知级数绝对收敛,且,,问=?解：因为.评分:前半句3分,后半句2分.二、解答题（每小题9分,共45分）12．求函数上的最大植和最小值.第10页共10页解1；=“（x，y）到（3，2）的距离的平方减13”如图所以注意图中的圆线是z的等值线。评分：解1：第一行3分，结论再加6分。解2；所以D内无疑点.同理第10页共10页所以评分：解2：求D内嫌

4、疑点3分，求y=0，x=0，x+y=3上嫌疑点分别为1、1、3分.结论1分.13．计算，其中的表面的外侧(a>0).解:原式=(用球坐标)评分:得第一行3分,得第二行再加4分(每对积分限各1分,被积函数1分),最后结果再加2分14．求幂级数的收敛区间(不考虑区间端点),以及这个幂级数在收敛区间上的和函数.并利用所得结果计算数项级数的和.第10页共10页解:显然收敛区间为:

5、x

6、<1或(-1,1)记,则.故..显然所求数项级数=2.评分:收敛区间2分;“”+3分(前2后1)“”+1分;“”+1分数项级数+2分(如含且结果不对,

7、可加1分).15．一曲线为连接O(0,0)和A(1,1)的一段凸曲线,曲线OA上任一P(x,y)满足:曲线OP与直线所围图形的面积为,求曲线OA的方程.解:设所求y=y(x)由题意得第10页共10页故最后将x=1,y=1代入得C=1.所以所求为:y=x[-4lnx+1]评分:“”4分(前2后2);求导得微分方程,+2分;得通解+2分;得特解+1分(给出y(1)=1也可加1分).16．计算曲线积分,其中L是抛物线y=-(x+1)(x-3)上由点A(3,0)到点B(-1,0)的一段弧.解1:因为所以在不含(0,0)的单连域内积分

8、与路径无关.如图取路径,其中AE是直线线段;C是心在原点,半径为r(r较小)的上半圆,从E到D;DB是直线线段.故LCBDEA其中;第10页共10页因此所求=.解2:同解1;然后用格林公式,图同解1下同解1.解3:及与路径无关同解1;然后门形路径.其中k>0.因此所求=评分:“”+3分;后面分段积分,直线段-段1分;半圆线段2分,解1、解2结论2分.解3结论3分.三、附加题（每小题10分,共20分）附1.已知数列满足:第10页共10页(1)证明:级数收敛.(2)证明:存在.解:(1)因为:而:收敛(因为q=k<1),所以级数

9、收敛.(2)由(1)级数收敛,而收敛收敛,即存在.{因为”左边”存在存在.}评分:(1)6分,其中不等式3分,比较法推理3分.用极限比值判别法要扣3分.(2)4分.第一句话2分,第二句话2分(无“{}”中的内容，可不扣分).附2．求极限.解1:分子=由二重积分中值定理分子=.因此第10页共10页所求=解2:代值可知可用罗必达法则,分子的积分区域图同解1,为求导交换积分次序所求=评分:解1,积分中值定理正确(含D的面积计算)+5分,知道,+2分.分母处理1分,结论2分.解2:按本解法各等号给到4、6、6、9、9、10.第10页

10、共10页