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1、2008-2009学年第二学期〈微积分(B)II〉期末考试试卷(A)答案一、填空题（每小题4分，共24分）1．设=.2．所确定的函数,且F的一阶偏导数连续,=-1.3．设函数则此函数的梯度=.4．交换二次积分的积分次序.后,=.5．=.6．下列4个级数的收敛性(填收敛或发散)为(A)发散,(B)收敛,(C)收敛,(D)发散.(A),(B),(C),(D).评分：第4题差一个负号给3分。第2题差一个负号给1分。二、简单计算题（每小题6分，共36分）7.计算,其中D是由所围成的区域.解：原式=.第6页共6页评分：第一个等号给4分,积分限3分(前1后2)。第2个等号给1分,答数1分。8.设试分别用直
2、角坐标、柱面坐标及球面坐标将I表成三次积分形式.解：直角:I=柱面:I=球面:I=评分：每一个式子给2分。9.计算曲线积分,其中L为连接(1,0),(0,1)两点的直线段.解：原式=评分：给2分,给2分,积分限给1分,答数1分。10.判别下列积分是否与路径有关,并求积分之值.解：积分与路径有关,积分值=评分：给2分,“与路径有关”给1分,第2行1个等号给1分。第6页共6页11.求微分方程的通解.解：，代入原方程淂：。评分：给2分,得“”给2分，答案（有不同形式）给2分。12．(1)求微分方程的通解.(2)求微分方程的特解形式.解:(1)(2)评分：（1）到第1、2、3个“”前给到2、3、4分,
3、（2）2分。有即k=2给1分.三、计算题（每小题分数依次为7,7,10,10分，共34分）13.设其中函数u的二阶偏导数连续.(1)求(2)问a、b为何值时，使解:(1),(2)第6页共6页即为所求.评分:(1)5分.一个结果1分。（2）2分。第一个等号1分,结果1分.14.把函数展成x的幂级数,并指出其收敛区间(不考虑区间端点).解：(
4、t
5、<1)(
6、x
7、<1)评分:有“
8、x
9、<1”1分。第二个等号3分,结果2分.15．计算曲面积分，其中所截得部分的下侧.令所截得部分的上侧,则原式=由高斯公式由曲面积分计算公式故原式=评分:令“”2分。所求写成两个积分的差1分,第6页共6页高斯公式3分，其中
10、第1、2个等号各1分，答数1分。另一个积分2分。总答数1分.16．求在区域上的最大值和最小值。解：，所以D内驻点为.边界1:上显然函数最大值点为(-2,0),(2,0)，最小值点为(0,0)。为求边界2上的最大值与最小值，构造辅助函数，则由，得到可疑点，所有疑点的函数值依次为2,2,4,4,0,，所以最大值为8，最小值为0。评分:“D内驻点”3分(求导2分,驻点1分)；“边界1”2分；“边界2”4分(辅助函数1分,求导1分,疑点2分);结论1分四、应用题（共6分）17．有一房间容积为100，开始时房间空气中含有0.12%的，为了改善房间的空气质量，用一台风量为10/min的排风扇通入含0.04
11、%的的新鲜空气，同时以相同风量将混合均匀的空气排出，求房间中的含量x（单位：）与时间t（单位：min）的关系x=x(t)满足的微分方程.注意这里只要求列微分方程，不要求解微分方程.解：第6页共6页即评分:结论正确给6分.第一个等号给1分.一般只给三种分数,0、1、6分。第6页共6页
