2009-2010学年高数下期中试题答案(B)

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1、高等数学期中试题(B卷)参考解答（2010.5）2一.1.2,372.1413.e2,不存在31114.{−,,−}，−5252655.,3{−,4−}1，arccos3911x6.fy′+f′+2xϕ′，f′−f′+xyf′′−f′′+2xϕ′′1212211322yyy1−47.1(−e)2x+1yz−4二.设L：==lmnlmn有123=8l−7m+2n=0−104l,{m,n}⋅}4,1,2{=2l+m+4n=01511解得l=mn=−m1414x+1yz−4故L：==1514−11⎧dzdy=2x+2y⎪三.⎨dxdxdydz⎪2x+4y+6z=0⎩dxdx⎧dzdy=2

2、−2⎪将点P代入得⎨dxdxdydz⎪1−2+6=0⎩dxdxdy13dz1解得==dx14dx7r131故切向量s=,1{,}147法平面π:14(x−)1+13(y+)1+(2z−)2=0即14x+13y+2z−5=01∂zy四.令=−1(+e)sinx=0∂x∂zy=e(cosx−1−y)=0∂y得驻点P(π,−)2P2(π)0,12222∂zy∂zy∂zy=−1(+e)cosx=−esinx=e(cosx−2−y)22∂x∂x∂y∂y−2−2在点PA=1+eB=0C=−e12−2−2AC−B=−1(+e)e<0故P1不是极值点在点PA=−2B=0C=−122AC−B=2>0

3、且A<0故P2是极大值点,极大值z=2ππx−xysinx五.I=∫2dx∫dy∫2dz000xπxysinxπ=∫2dx∫(−x)dy00x2π1π=∫2(−x)sinxdx202π1=−42∂z∂z∂z∂z∂z六.(1)=+2x=−2y∂x∂u∂v∂y∂v∂z1代入方程得=∂u1−u2(2)z=arcsinu+f(v)(f是任意可导函数)22=arcsinx+f(x−y)2222七.（1）S:x+y+z=2z22⎧x+y=1（2）C:⎨⎩z=0π2π2cosϕ47（3）I=∫0dθ∫0dϕ∫0rsinϕdrπ=26π4sinϕcos8ϕdϕ∫0642=1(−)π932八.设切点

4、为M(x,y,z)xyz则切平面(X−x)+(Y−y)+(Z−z)=0222abcxyz即X+Y+Z=1222abc222abc三截距为,,xyz2221abcV=6xyz222xyz令f(x,y,z)=xyz其中++=1222abc222xyzF(x,y,z)=xyz+λ(++−)1222abc⎧2λF′=yz+x=0⎪x2a⎪2λ⎪F′=xz+y=0⎪y2b⎨2λ⎪F′=xy+z=0z2⎪c222⎪xyz⎪2+2+2=1⎩abcabc解得x=y=z=333abc由问题的实际意义，…,故(,,)为所求点3333V=abcmin23