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《10-5对坐标曲面积分_6026_1628_20130508235621》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双rn侧曲面规定法向量的方向来区分曲面的两侧.典型单侧曲面:莫比乌斯带播放播放曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:在有向曲面Σ上取一小块曲面DS,DS在xoy面上的投影(DS)为xyì(Ds)xy当cosg>0时ï(DS)xy=í-(Ds)xy当cosg<0时.ïî0当cosg=0时其中(Ds)表示投影区域的面积.xyDS在xOy面上的投影(DS)xy,实际上就是DS在xOy面上的投影区域的面积附以一定的正负号.类似地,可定
2、义DS在yOz面及zOx面的投影:(DS),(DS)yzzxa,b恰好等于DS与坐标面yOz、zOx的二面角.希自己写出希自己写出二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.r(1)流速场为常向量v,有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量F(假定密度为1).rv流量qvF=Avcosqr0vvvvAn=Av×n0=v×A(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由rrrrv(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)z都在Σ上连续,求在单位S时间内流向
3、Σ指定侧的流体的质量F.yox1.分割把曲面Σ分成n小块Dsi(Dsi同时也代表第i小块曲面的面积),rvri在Dsi上任取一点zDSnii(x,h,V)(x,h,z)iii,iiir则该点流速为.v·iSr法向量为.niyoxrrv=v(x,h,z)iiiirrr=P(x,h,z)i+Q(x,h,z)j+R(x,h,z)k,iiiiiiiii该点处曲面Σ的单位法向量rrrr0n=cosai+cosbj+cosgk,iiii通过Ds流向指定侧的流量的近似值为iv×nDS(i=1,2,L,n).iiin2.求和通过Σ流向指定侧的流量F»åvi×niDSii=1n=å[P(xi,hi,z
4、i)cosai+Q(xi,hi,zi)cosbii=1+R(x,h,z)cosg]DSiiiiin=å[P(xi,hi,zi)(DSi)yz+Q(xi,hi,zi)(DSi)xzi=1+R(x,h,z)(DS)iiiixy3.取极限l®0取极限得到流量F的精确值.三、概念及性质定义设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把Σ分成n块小曲面DS(DS同时又表示第iii块小曲面的面积),DS在xoy面上的投影为i(DS),(x,h,z)是DS上任意取定的一点,如ixyiiii果当各小块曲面的直径的最大值l®0时,nlimåR(xi,hi,zi)(DSi)xy存在,l®0i=1则称此极限为函
5、数R(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标x,y的曲面积分(也称第二类曲面积分)记作òòR(x,y,z)dxdy,即SnòòR(x,y,z)dxdy=limåR(xi,hi,zi)(DSi)xyl®0Si=1被积函数积分曲面类似可定义nòòP(x,y,z)dydz=limåP(xi,hi,zi)(DSi)yzl®0Si=1nòòQ(x,y,z)dzdx=limåQ(xi,hi,zi)(DSi)zxl®0Si=1组合形式:òòP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdyS物理意义:F=òòP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)d
6、xdyS存在条件:当P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在.性质:1.òòPdydz+Qdzdx+RdxdyS1+S2=òòPdydz+Qdzdx+Rdxdy+òòPdydz+Qdzdx+RdxdyS1S22.òòP(x,y,z)dydz=-òòP(x,y,z)dydz-SSòòQ(x,y,z)dzdx=-òòQ(x,y,z)dzdx-SSòòR(x,y,z)dxdy=-òòR(x,y,z)dxdy-SS四、计算法设积分曲面Σ是由z方程z=z(x,y)所给z=f(x,y)出的曲面上侧,Σ在Sxoy面上的投影区域为D,函数xy
7、oyz=z(x,y)在D上具xyDxy(Ds)有一阶连续偏导数,xyx被积函数R(x,y,z)在Σ上连续.nòòR(x,y,z)dxdy=limåR(xi,hi,zi)(DSi)xyl®0Si=1QS取上侧,cosg>0,(DS)=(Ds),ixyxy又Qz=z(x,h)iiinlimåR(xi,hi,zi)(DSi)xyl®0i=1n=limåR(xi,hi,z(xi,hi))(Dsi)xyl®0i=1即òòR(x,y,z)dxdy=òòR[x,y,
