资源描述：
《9-2(1)_直角坐标(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、利用直角坐标系计算二重积分如果积分区域为：a£x£b,j1(x)£y£j2(x).［X－型］y=j(x)2y=j(x)2DDy=j(x)1y=j(x)1abab其中函数j1(x)、j2(x)在区间[a,b]上连续.用二重积分的几何意义说明其计算法回忆：平行截面面积为已知的立体的体积A(x)表示过点oaxx+dxbxx且垂直于x轴的截面面积，A(x)为x的已知连续函数bdV=A(x)dx立体体积V=òA(x)dxa此方法关键是求A(x)用二重积分的几何意义说明其计算法Qòòf(x,y)ds(f(x,y)³0)
2、的值等于以D为底,D以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积.z=f(x,y)z应用计算“平行截面面积为已y=j(x)2知的立体求体yA(x0)D积”的方法.y=j1(x)Oaxbx0＊计算截面面积(红色部分即A(x0))是区间[j1(x0),j2(x0)]为底,曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形.z=f(x,y)是区间[(),()]为底,zj1x0j2x0曲线z=f(x0,y)为曲边y=j(x)2的曲边梯形.A(x0)yj(x)20DA(x0)=òj1(x0)f(x0,y)dyy=j1(x)Oax0bx
3、"xÎ[a,b]有:j2(x)zA(x)=f(x,y)dyz=f(x,y)ò0j1(x)bj2(x)bòò＊fV(x,=yòò)dsf(=xò,ady)xdòjs(=x)òfa(Ax(,xy))ddxy1A(x)DD0bj2(x)y=ò(òf(x,y)dy)dxaj1(x)Oj(x)j(x)1020称为累次积分.先对y后对x的二次积分如果积分区域为：c£y£d,j1(y)£x£j2(y).［Y－型］ddx=j(y)x=j(y)11DDx=j(y)2x=j(y)2ccdj2(y)òòf(x,y)ds=òdyòf(
4、x,y)dx.cj1(y)D注特殊地D为矩形域:a£x£b,c£y£d则òòf(x,y)dsDbddb=òadxòcf(x,y)dy=òcdyòaf(x,y)dx如D是上述矩形域,且f(x,y)=f(x)×f(y)12bd则f(x)f(y)dxdy=(f(x)×f(y)dy)dxòò12òaòc12Dbd=ò(f1(x)×òf2(y)dy)dxacbd得=òf1(x)dx×òf2(y)dyac即等于两个定积分的乘积.7(1)X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.(2)Y型区域的
5、特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.(3)积分区域D既是X型:ya£x£b,j1(x)£y£j2(x)d又是Y型:cc£y£d,j1(y)£x£j2(y)Oabx计算结果一样.但可作出适当选择.(4)若区域如图,则必须分割.yD3在分割后的三个区域上分别D1D使用积分公式.2(用积分区域的可加性质)Oxòò=òò+òò+òòD1、D2、D3都是X型区域DDDD12322例求òò(x+y)dxdy,其中D是抛物线y=x和Dy22x=y所围平面闭区域.y=x2x=y·(1,1)解两曲线的交
6、点2ìx=yíÞ(1,1),(0,0)Ox2îy=x积分域既是X型又是Y型法一先对y后对x积分.1x22òò(x+y)dxdy=òdxòx2(x+y)dy0D1221433=ò[x(x-x)+(x-x)]dx=.021402y(x+y)dxdy2òòy=x2D·x=y(1,1)法二先对x后对y积分Ox21y2òò(x+y)dxdy=òdyò2(x+y)dx0yD33=.14011二重积分是化为两次定积分来计算的，关键是确定积分限.定限要注意的问题：1.上限>下限.2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数.3
7、.外层积分上，下限应为常数(后积先定限).4.二重积分的结果应为常数.22-y例求òòxedxdy，其中D是以(0,0),(1,1),D(0,1)为顶点的三角形.2-y解Qòedy无法用初等函数表示积分时必须考虑次序2-y21y2xedxdy2-yòò=òdyòxedx00D321-y2y1-y2y212=òe×dy=òe×dy=(1-).03066e计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且又是能否进行计算的问题.凡遇如下形式积分:sinx222-xòdx,òsinxdx,ò
8、cosxdx,òedx,xy2dxxx,òedx,òedx,ò等等,一定要放在lnx后面积分.112例计算二次积分òdxòsinydy0x分析siny2对y的积分不能用基本积分法算出,而它对x的积分可用基本积分法算出.所以将二次积分先交换积分次序.交换积分次序的方法是:(1)将所给的积分域用联立不等式表示D:y0£x£1,x£y£1(2)画出积分域的草图(1,1)(3)改写D为:0£y
