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1、第一节二重积分的概念和性质第二节二重积分的计算法第九章二重积分(一)利用直角坐标系计算二重积分(二)利用极坐标系计算二重积分§9.2二重积分的计算法（一）-----利用直角坐标系计算二重积分其中函数、在区间上连续.(1)［X－型域］预备知识:X型,Y型区域2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明（一）直角坐标系下计算【X—型区域的特点】穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.(2)［Y－型域］2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、
2、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明(3)［既非X－型域也非Y－型域］如图在分割后的三个区域上分别都是X－型域(D1也是Y—型域)则必须分割.由二重积分积分区域的可加性得2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明2.公式推导表示曲顶柱体的体积.a.回顾二重积分几何意义三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算b.回顾一元函数定积分的应用平行截面面积已知,立体体积求法:1.X型,Y型区域3.几点说明化二重为二次公式(1)aboxyDx2.公
3、式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明公式1公式22.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明公式(1)【二重积分的计算步骤可归结为】①画出积分域的图形，标出边界线方程；②根据积分域特征及被积函数，确定积分次序.(写出不等式)③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。3.几点说明2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明(2)①使用公式1必须是X－型
4、域，公式2必须是②若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,则为计算方便,可选择积分次序。Y－型域.③若积分域复杂,可分成若干X型Y型区域【类似例1】【解Ⅰ】看作X－型域12oxyy=xy=1Dx三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算D既是X—型域又是—Y型域【解Ⅱ】看作Y－型域12oxyx=yx=2Dy12三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【例2】【分析】D本身是Y—型域先求交点三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算［法1］［法2］视为X—型域计算较繁三、
5、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【例2】【补例1】【解】D既是X—型域又是—Y型域［法1］－111xoy=xDxy三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算先对x积分更繁［法2］注意到先对x的积分较繁，故应用法1较方便－111yoy=xD－1xy注意两种积分次序的计算效果！三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【解】三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算D既是X—型域又是Y—型域把D当作Y—型域，先x后y积分练习【小结】以上例子说明，在化二
6、重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(先对x易积就后积y,当y型区域)三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【练习1】【解】据二重积分的性质4（几何意义）交点三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【练习2】计算其中D是由直线y=x及抛物线y2=x所围成【解】三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算先y积不出，故先x后y，即Y型域【补例2】【解】当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号
7、。［分析］三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【类似例5】求两个底圆半径都等于R的直交【解】设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为圆柱面所围成的立体的体积V.三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算类似例4交换二次积分的积分次序.解：题设积分限:可改写为:所以三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算交换积分次序：若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,目的为方便计算，或题目要求。补例3交换二次积分的积分次序.解：积分限:可改写为所以原式
8、三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【练习3】交换下列积分顺序【解】积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算设D位于x轴上方的部分为D11、积分区域
